Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
1. Графически определяется градиент скорости dueJdxc в плоскости
сжимаемого течения. Возможно, потребуется видоизменить заданное
распределение скорости таким образом, чтобы положительный градиент
скорости начинался в определенной точке и аппроксимировался прямой
линией.
2. По уравнению (12) вычисляется эквивалентная длина.
3. По фиг. 1 определяется параметр 1 + [(у -1)/2] М"акс-
4. По уравнению (13) определяется безразмерный градиент скорости в
плоскости эквивалентного несжимаемого течения. Падение скорости, которое
соответствует отрыву ламинарного потока жидкости, определяется по фиг. 2.
Численный расчет показыват, что при уменьшении скорости по линейному
закону в зависимости от расстояния до передней кромки в условиях
ламинарного отрыва влияние числа Маха, предсказываемое методом Лофтина и
Уилсона [8], в основном совпадает с результатами Стюартсона [10] и
Хоуарта [6].
м
Фиг. 1. Величина 1+ [(-у - 1)/2]М^акс как Функция числа Маха [8).
h
Фиг. 2. Падение скорости Лие{ /ммакс. в ламинарном несжимаемом потоке
перед отрывом как функция градиента скорости [8].
F. - безразмерный градиент скорости.
ОТРЫВ ПОТОКА ГАЗА
237
1.3. МЕТОД МОРДУХОВА И КЛАРКЕ
Мордухов и Кларке [11] предложили теоретический метод определения точки
отрыва ламинарного потока газа. Этот метод является развитием метода
Кармана - Польгаузена с применением полиномиальных профилей скорости до
седьмой степени. Кроме того, он может быть модифицирован для учета
теплопередачи. Этот расширенный анализ будет рассмотрен в гл. XI. Будут
приведены основные результаты определения точки отрыва и численный
пример, который хорошо согласуется с другим известным решением. Основные
уравнения движения, энергии, неразрывности для двумерного потока газа и
уравнение состояния следующие:
Расчет основан на следующих предположениях: число Прандтля Рг = \iCplk
равно единице; стенка является адиабатической (дТ1ду = 0 при у = 0),
коэффициент вязкости линейно зависит от температуры.
Исключая реие (dujdx) из уравнений (14) и (15), получим
-|г(ри)+-|г(ру) = 0
(16)
9 __ Те 9е Т
(17)
+ СрТ = const
(18)
или
(19)
Теперь считая, что
М- с т
. - Т *
(20)
где
(21)
238
ГЛАВА VI
S = const = 120 К для воздуха, из уравнения (19) находим
ТГ=1 + '1Т^М"- <22>
Интегрируя уравнение (14) по толщине пограничного слоя оту = 0дог/=би
вводя переменную Дородницына t, определяемую преобразованием
t
y=j~dt, (23)
о е
получим следующее соотношение, являющееся в сущности интегральным
уравнением Кармана:
~ Ft (б\У + {F[ + F, (In рeul)' - F2 (In иеу) 6? =
где
f<=hrO-t)*'
0
*W(i~n)*' (25>
о
Индекс w означает условие на стенке.
Величина бг (значение t при у = б) - толщина пограничного слоя в
плоскости х - t, а т = tlб(.
Штрих (') означает производную по х. Вводя безразмерные переменные К и ?
Х = -iReccf^)2.
С \Ь)
* = T'
где L - характерная длина и Re " = р "и "Х/ц ", получим уравнение (24) в
виде
Я/ + 2?" + + (2^-^U (27)
I ре ^ ие \ Fi IJ "е Ре tco v
где штрих (') теперь и далее означает производную по
Граничные условия в плоскости х - t:
и " д3(и/ие) I Tlx>\2 ре I ие \' Тш . д3(и/ие) А
ОТРЫВ ПОТОКА ГАЗА
239
при т = 0,
(28)
д (и/ие) _ д2 (и/ие) __ ds (и/ие) _ " дх дх2 дхя
при т= 1.
Второе условие на стенке (т = 0) следует в общем случае из исходного
уравнения (14) в частных производных в сочетании с уравнением (20).
Третье условие на стенке следует из уравнения (14) (в переменных х, т) в
сочетании с условием отсутствия теплопередачи {дТ!дх \ w = 0). Второе и
третье граничные условия [уравнения (28)] выполняются только тогда, когда
нормальная составляющая скорости на стенке равна нулю. Для определения
точки отрыва должно быть удовлетворено дополнительное граничное условие в
точке отрыва
Оно получено дифференцированием уравнения (14) дважды по t с последующей
подстановкой значений параметров на стенке, соответствующих duldt = 0.
Профиль скоростей, который удовлетворяет уравнениям (28) и (29), является
полиномом седьмой степени
Индекс Ъ означает условия сразу за скачком уплотнения. Теперь функции F,
определяемые уравнениями (25), принимают вид
(29)
Т7 = (т -т) т + а2x2 ~ Т <21 + 10аг) + (7 + За2) т* -- (т + й2)т7'
(30)
где
и
G=(jt) ш
Ть \ -l/Cv-1)
(31)
FiB = 0,1156 + 0,00253а2-0,001454а',
F2js = - 0,02976а2 -0,3125 - м* (0,4281 + 0,03229а, -
- 0,00145а'),
F3g = 1,7500 -0,5000а2.
(32)
240
ГЛАВА VI
Так как отрыв происходит в точке, где
Г д (и/ие) } _п \ дт j w '
то из уравнения (30) следует а2 = 3,5 при отрыве ламинарного слоя.
Используя уравнение (32) и предполагая, что в выражениях для F1 и F2
величины а2 и а\ можно (приближенно) заменить постоянными средними
значениями а2 и а\, получаем следующее приближенное решение %s для Я (?)
из уравнения (27):
. _ 7 1
2 FiSG Х
3+-=^- (0,0625+0,0297б52) - (0,1781+0,03 22972-0,00 1455|)
1.0 / Т \ V 1с
)' (¦?:) " №
4+-~- (0,0625+0,02976а2) -?-г - -!-(0,1781+0,03229а2~0,00145а!)
(Ue_\ *S (1А.\У ^
\ Too }
(33)
