Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
как и для установившихся потоков, является предположение о равенстве нулю
напряжения трения в точке отрыва.
Основные уравнения неустановившегося пограничного слоя те же самые, что и
для установившегося, за исключением добавочного члена, содержащего dldt в
уравнении количества движения и в уравнении Бернулли.
Уравнение неразрывности двумерного течения
? + -?=°, W
уравнение количества движения
ди . ди ди 1 др . д2и ,п\
dt дх ' ду рдх ду*
Для осесимметричного течения уравнение количества движения такое же, а
уравнение неразрывности имеет вид
!^+^=о. (3)
дх ду '
Используя уравнение Бернулли для неустановившегося течения, можно
записать выражение для градиента давления в виде
1 др дие (х, () ( дие (х, t)
¦ lie
р дх dt дх 1
где ие (х, t) - заданная скорость неустановившегося течения за пределами
пограничного слоя. Для решения этих дифференциальных уравнений необходимы
следующие граничные условия:
и = 0, v = О при у = 0, и = ие (х, t) при г/ = оо.
Интегрирование дифференциальных уравнений (1) - (3) выполняется, как
правило, методом последовательных приближений, основанном на следующем
рассуждении. В начальной стадии движения из состояния покоя пограничный
слой очень тонок,
214
ГЛАВА V
но вязкий член v (д2и/ду2) очень велик, в то время как конвективные члены
уравнений сохраняют обычные значения. Вязкие силы уравновешиваются
нестационарным ускорением duldt и давлением, в выражении для которого в
начале движения доминирует dujdt. Для получения теоретического решения
скорость рассматривается в виде суммы первого и второго приближений
и (х, у, t) = и0 (х, у, t) + щ (х, у, t), (4)
где индексы 0 и 1 обозначают первое и второе приближения; и0
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
ди" д2и0 _ дие ,гч
Я" 2 Я* ' \ г
dt ду2 dt
Граничные условия:
и0 = О при у = 0 и и0 = ие (х, t) при у = оо
Уравнение для второго приближения Ui (х, у) получается из уравнения
количества движения (2). Конвективные члены вычисляются при использовании
и0 и с учетом конвективного члена в выражении для давления. Уравнение (2)
принимает вид
dui ,. d2"i _..
dt ду2 a* 0 dx 0 dy * ^ '
Граничные условия:
ui = О при у = 0 и = 0 при у = оо.
Уравнения неразрывности также записываются через и0, ui,
v0,
Аналогично получаются приближения высшего порядка и2, и3, . . . .
Указанный метод применим не только для неустановившегося течения из
состояния покоя, но и для периодического течения. Однако решение
дифференциального уравнения этим методом затруднительно, причем трудности
возрастают с увеличением порядка аппроксимаций, ограничивая применимость
метода. Далее более подробно будет изучен отрыв, который возникает при
внезапном возникновении движения и при движении с постоянным ускорением.
Вследствие недостатка информации отрыв при периодическом движении здесь
не рассматривается.
1. ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ПРИ ВНЕЗАПНОМ ВОЗНИКНОВЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим отрыв неустановившихся двумерного и осесимметричного потоков.
ОТРЫВ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ
215
1.1. ОТРЫВ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВУМЕРНОГО ПОТОКА Введем функцию тока
ф(а:, y,t) = 2V\t |ме?о(т0 + *ие-^-?1(т1)+ .. . j , (7)
где т) = у 12 Y~yt и ? - безразмерная величина.
Фиг. 3. Функция ?о> а также =. и для распределения скорости в
нестационарном пограничном слое; уравнения (8) и (15а) [1].
При этом составляющие скорости и = dtyldy и v =- dty/dx равны
м = це?о + tuc (due/dx) + ...,
-"_2 + < {(*?) *+",*?} ?,+ ...]. (8) Подставляя (7) и (8) в (5), получим
для первого приближения Ьо + 2т) Со = О-
Граничные условия:
Со = Со = 0 при Т) = О,
Со = 1 ПРИ т) = оо.
Решение этого уравнения имеет вид
= (т^) = erf p. (9)
"е (ж, У, г) ъо v " I V /
На фиг. 3 построена функция Ц от тр
Из уравнений (7) и (9) получаем дифференциальное уравнение для второго
приближения
сг+2с;-4с;=4[сГ-Сос;'-1]. (Ю)
216
ГЛАВА V
Граничные условия:
Ci = Ci[ = 0 при л = о.
С = 0 при г] = оо.
Решение уравнения (10) дается Блазиусом:
Vi = - гЛ=- Л ехр (- Г|2) erfc (л) -f 4- (2л2 - 1) erfc2 (г\) +
\/ я ^
+ -§¦ехр (- 2г12) + ~^г Л exp (- if) + 2 erfc (л) - ^ ехр (-л2) +
ti =
+ (-^ + -^77) {лехр( - л2) - Jy^-(2p2 + l)erfc(p)} • С11)
Теперь из уравнений (8), (9) и (11) вычисляется и. Как видно из уравнения
(8), отрыв происходит в момент времени ts при условии (ди/ду) |0 = 0 или
?" (0) + ?* (0) ts (dujdx) = 0. Если начальные производные задаются в
соответствии с фиг. 3
Отрыв возможен при положительном градиенте давления, т.е. там, где
величина dujdx отрицательна и начало отрыва находится в точке, где
абсолютное значение dujdx имеет наибольшее значение. Если положение
отрыва задано, то время отрыва ts (время до возникновения отрыва)
вычисляется по уравнению (13).
1.2. ОТРЫВ ПРИ ОБТЕКАНИИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Обозначая через и ", скорость невозмущенного потока, запишем выражение
для скорости потенциального течения около кругового цилиндра (фиг. 4)
Наибольшее абсолютное значение dujdx достигается в задней критической
