Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
sin2 а + cos2 а
= 1 + tg2 а.
Подставляя это значение в (6), находим
У
(id
Уравнение (11) описывает семейство параболических траекторий, зависящее от двух параметров: модуля начальной скорости v0 и угла а. Решение кинематических задач о свободном падении в однородном поле тяжести фактически сводится к исследованию этого семейства.
Граница достижимых целей. В качестве примера рассмотрим баллистическую задачу о стрельбе из ружья, пренебрегая сопротивлением воздуха. Прежде всего зададимся вопросом, как следует стрелять,
чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии I по горизонтали и на высоте h над горизонтальной плоскостью, проходящей через ружье (рис. 54). Стреляя в цель, мы можем менять наклон ствола ружья а, но, разумеется, мы не в силах менять значение начальной скорости v0, так как она зависит от заряда патронов и устройства ружья. Будем считать v0 известной заданной величиной. Под каким же углом к горизонту следует направить ствол ружья?
Чтобы ответить на этот вопрос, потребуем, чтобы траектория, описываемая уравнением (11), проходила через цель, т. е. точку с координатами х = I, y = h:
Рис. 54. Стрельба в цель, находящуюся на расстоянии / и высоте h
h = / tg а — (1 + tg2 а)
IL
2v
2'
(12)
§ 13. ТРАЕКТОРИИ
71
Это квадратное уравнение относительно tg а. Решая его, получаем для корней следующее выражение:
то уравнение имеет вещественные корни и, следовательно, при данной начальной скорости пули в цель попасть можно. Если при этом дискриминант положителен, т. е. уравнение (12) имеет два различных вещественных корня, то в цель пуля может попасть по двум различным траекториям. Траектория с меньшим значением угла а называется настильной, с большим — навесной. При равном нулю дискриминанте, когда корни (13) совпадают, в цель при данном значении начальной скорости можно попасть единственным образом.
Если же дискриминант отрицателен, то уравнение (12) не имеет вещественных корней и в цель при данном значении vQ попасть нельзя ни при каком значении угла а: ни одна из траекторий семейства (11) не «дотягивает» до этой цели. Отсюда ясно, что равенство нулю дискриминанта определяет ту минимальную начальную скорость vmin, при которой еще можно попасть в данную цель:
Для тангенса угла наклона ствола ружья при равном нулю дискриминанте имеем из (13)
С другой стороны, при заданном значении v0 равенство нулю дискриминанта определяет координаты наиболее удаленных целей, в которые еще можно попасть, т. е. границу области, простреливаемой из данного ружья. Выражая из (14) h в случае равенства, находим
Эта формула определяет наибольшую высоту цели, находящейся на расстоянии I от ружья по горизонтали, в которую еще можно попасть при данном значении v0. С ее помощью легко получить уравнение границы простреливаемой области, если заменить координаты определенной наиболее удаленной цели / и h на переменные величины х и у — координаты точек искомой границы:
tg а = {vl±-\v*0- g(gl2 + 2v§A) j.
(13)
Если дискриминант неотрицателен, т. е.
- S(gl2 + 2v\h) О,
(14)
^min = (^ + V/l2 + /2).
72
I. КИНЕМАТИКА
Это уравнение параболы с вершиной при х = 0, у = vy(2g). Ее ветви направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках х= ±vl/g (рис. 55). Все траектории с данным v0 при разных значениях а, т. е. семейство парабол (11), целиком лежат под этой
границей, и каждая из траекторий касается границы в одной точке. Другими словами, граница является огибающей для семейства таких траекторий. Через каждую цель, расположенную ниже границы, проходят две траектории, причем навесная касается границы до попадания в цель.
Фактически граница простреливаемой области представляет собой некоторую поверхность, а парабола (16) есть сечение этой поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением параболы (16) вокруг оси у.
Другой способ нахождения границы. Если с самого начала интересоваться только границей простреливаемой области, то ее можно найти сразу с помощью уравнения траектории (11). Действительно, рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от ружья на расстояние х, и найдем на этой вертикали самую высокую точку, в которую еще может попасть пуля. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума у при заданном х, т. е. максимума квадратного трехчлена (11) относительно tg а. Квадратный трехчлен имеет максимум при tg amax = vfy(gx). Соответствующее максимальное значение у получается подстановкой tg amax в (11). Результат совпадает с формулой (16).
Полученные выше результаты, как нетрудно убедиться, содержат все хорошо известные частные случаи. Так, например, максимальная высота подъема ymax = f^/(2g) получается из уравнения (16) при х = 0, а наибольшая дальность полета пули по горизонтали при условии, что ружье и цель находятся на одной высоте, получается из (16) при у = 0: xmax = vfyg.
