Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
з*
68
1. КИНЕМАТИКА
ра ускорения g на оси равны соответственно 0 и —g. Таким образом, вместо векторного уравнения г = г0 + v0/ + gtz/2 получим
gt2
х = fо cosa-t, y=v0sina-t------у (3)
Полное время полета камня находится из второго уравнения, если положить в нем у = О — упавшее на землю тело находится на том же уровне, что и в момент бросания:
2vn sina
t = —-----.
g
Подставляя это значение t в первое уравнение (3), находим дальность I по горизонтали (см. задачу 2):
2vg sin a cos a . ...
/= - . ( )
Для ответа на вопрос задачи 1, когда в условии задано время полета, а не направление начальной скорости, нужно выразить sin a из второго уравнения (3), положив в нем у = 0:
sina = ?-o. (5)
Теперь для нахождения дальности полета остается подставить в первое уравнение (3) cosa, выразив его через sina из (5):
cos a = Vl — sin2 a = л11 — I —
2
2vn
В результате для дальности / полета получим
/ = v0cos <W = tVyi - t,
что, разумеется, совпадает с приведенным в предыдущем параграфе ответом.
Рассмотренные примеры показывают эквивалентность обоих методов, хотя использование проекций на оси координат иногда приводит к более громоздким алгебраическим преобразованиям.
Рекомендуем попытаться решить этим методом еще и задачу 3 § 12 и обе приведенные там задачи для самостоятельного решения.
Удобство использования координат проявляется, как уже отмечалось, при исследовании формы траектории.
Уравнение траектории. Будем опять для определенности рассматривать свободное движение вблизи поверхности земли. В таком случае зависимость координат тела от времени дается уравнениями (3). Чтобы получить уравнение траектории у—у{х), нужно исключить время из этих уравнений. Выражая t из первого уравнения:
§ 13. ТРАЕКТОРИИ
69
и подставляя во второе, получаем
дХ2
y = xtga-—2—(6) 2vq cos а
Здесь мы воспользовались тем, что sin a/cos a = tg a.
Соотношение (6) представляет собой уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при х2 отрицателен. Найдем положение вершины траектории. Выделим в правой части (6) квадрат разности, рассматривая член, содержащий х2, как квадрат первого слагаемого, а член, содержащий х, — как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Для этого нужно прибавить и вычесть некоторый свободный член, не содержащий х:
У =
2
х tg a + ¦
vn sm a
2g
un sm a
2g
(7)
Легко видеть, что выражение в скобках представляет собой квадрат разности
/ _ ч 2
(8)
2 и0 cos а
Очевидно, что максимум правой части (7) достигается при том значении х, при котором выражение (8) обращается в нуль:
2 .
v0 sm a cos a X =------------------------.
(9)
Соответствующее максимальное значение правой части (7), т. е. высота вершины параболы, есть
un sm а
2g
(10)
Координаты вершины параболической траектории (9) и (10) можно найти и более простым путем. Поскольку парабола — это симметричная кривая, ее вершина лежит посередине между точками пересечения с осью х. Одна из этих точек — начало координат х = 0, а другая соответствует максимальной дальности полета х = I из формулы (4). Поэтому вершина параболы находится при х = 1/2, что совпадает с (9). При этом ее высота Утах получается подстановкой этого значения х в уравнение траектории (6).
Независимость движений. Соотношения (9) и (10) можно получить и на основе принципа независимости движений. Рассматривая второе уравнение (3) как уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0sin а, найдем максимальную высоту подъема h = (v0 sin a)2/2g, совпадающую с высотой
70
I. КИНЕМАТИКА
вершины параболы ,ymax из (10). Подставляя время подъема / = u0sin a/g в первое уравнение (3), описывающее равномерное движение по горизонтали со скоростью v0 cos а, найдем значение л> координаты этой вершины, совпадающее с (9). Но чтобы убедиться в том, что траектория представляет собой параболу, все равно необходимо обратиться к формуле (6).
Если интересоваться тем, как будет меняться траектория при изменении направления начальной скорости, т. е. угла а, то удобнее преобразовать уравнение траектории (6) таким образом, чтобы оно содержало только какую-нибудь одну тригонометрическую функцию угла а. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством sin2 а + cos2 а = 1. Тогда
