Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
t
Av = v — v0 = ^ a(t) dt. (11)
о
При равноускоренном движении, когда а = const, выражение (11) приводит, естественно, к формуле (2):
v = v0 + at. а
§ 13. Траектории
Рассмотренное выше описание движения частицы с помощью по-1ятия радиуса-вектора г(/), изменяющегося со временем, основы-
66
I. КИНЕМАТИКА
валось на использовании определенной системы отсчета. Решение получавшихся векторных уравнений для перемещения частицы проводилось путем привлечения соответствующих им геометрических образов. В рассмотренных случаях при равномерном и равнопеременном движениях эти образы сводились к треугольникам, образованным складываемыми векторами.
Для многих задач, однако, интерес представляют не только перемещения частиц в пространстве, но и траектории их движения. Для исследования криволинейных траекторий удобно использовать другой математический аппарат, связанный с проецированием векторных уравнений на оси системы координат.
Системы координат. Наиболее простой и распространенной является так называемая декартова система координат, образованная тремя взаимно перпендикулярными осями. С помощью такой системы положение точки в пространстве можно задать, указав три ее координаты (рис. 53). Для нахождения декартовых координат х, у, z точки А нужно опустить из нее перпендикуляры на оси х, у, z (или на их продолжения). Координаты оснований этих перпендикуляров, т. е. точек Аи А2 и Аъ, — это и есть декартовы координаты точки А. Иногда это проецирование бывает удобно выполнить в два этапа: сначала опустить из точки А перпендикуляр на одну из координатных плоскостей, например ху (рис. 53), а затем из точки А', т. е. проекции точки А на эту плоскость, опустить перпендикуляры на соответствующие оси.
Проекциями вектора, т. е. направленного отрезка, соединяющего две точки, называют разности координат точек конца и начала этого вектора.
Зафиксируем некоторую систему координат, связав ее начало и направления осей с определенным телом отсчета. Тогда для задания положения частицы в физическом пространстве вместо радиуса-вектора можно рассматривать три его проекции х, у, z на оси выбранной системы координат. Поскольку начало радиуса-вектора по определению всегда находится в начале координат, проекции радиуса-вектора просто совпадают с координатами х, у, z частицы.
Координаты как проекции радиуса-вектора. Таким образом, для описания движения частицы можно задавать либо одну векторную
§ 13. ТРАЕКТОРИИ
67
функцию времени г(/), либо три скалярных функции х(/), y(t), z(t). При этом любое векторное равенство, например
r = r0 + v0f + y-, (1)
эквивалентно трем скалярным, получаемым путем почленного проецирования его на оси выбранной системы координат:
aI2 at2 at2
X = x0 + v0xt+—, У= У0 + v0yt + -f-., z = z0 + v02t + —, (2)
где буквами с индексами х, у, z обозначены проекции векторов на соответствующие оси координат.
Подчеркнем, что одному и тому же векторному равенству (1) могут соответствовать различные системы равенств (2), потому что положение начала координат и ориентация осей координат в пространстве могут быть выбраны по-разному: с одной и той же физической системой отсчета можно связать различные системы координат. Их конкретный выбор определяется исключительно соображениями удобства.
Траектория — плоская кривая. Как мы видели, при движении с постоянным ускорением, которое описывается уравнением (1), траектория движения представляет собой плоскую кривую, т. е. все ее точки лежат в одной плоскости. Положение в пространстве плоскости, в которой происходит движение, задается векторами ускорения а и начальной скорости v0. Поэтому ориентацию осей координат всегда можно выбрать так, чтобы эта плоскость совпадала с одной из координатных плоскостей, например с плоскостью ху. Тогда векторное уравнение (1) сводится к двум скалярным — первым двум уравнениям системы (2). При этом еще остается произвол в выборе ориентации осей х и у, от которого зависит конкретный вид этих уравнений.
Напомним, что проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением этой оси.
Сопоставим исследование векторного уравнения (1), описывающего движение с постоянным ускорением, двумя рассмотренными способами — опираясь на геометрический образ этого уравнения и проецируя его на оси выбранной системы координат. Для этого вернемся к задачам 1 и 2 § 12 и рассмотрим их решение вторым способом.
Поместим начало координат в точку, откуда бросают тело, и направим ось х по горизонтали, а ось у — вертикально вверх так, чтобы вектор начальной скорости v0 лежал в плоскости ху. Тогда проекции vQ на оси х и у будут равны соответственно vQ cosa и v0 sin a, где a — угол, образованный вектором v0 с осью х. Проекции векто-