Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
21 = vcpl = | vt,
откуда находим
Обратим внимание на то, что в этой задаче переход в движущуюся систему отсчета использовался для рассмотрения неравномерного движения тела, однако движение самой системы отсчета было равномерным. Следующие задачи
Рис. 59. Скорости в системе отсчета, связанной с одним из автомобилей
80
I. КИНЕМАТИКА
показывают, что иногда бывает удобно переходить в ускоренно движущуюся систему отсчета.
4. «Охотник и обезьянка». При стрельбе по горизонтально движущейся цели опытный охотник прицеливается с некоторым «упреждением», поскольку за время полета дроби цель успевает переместиться на некоторое расстояние. Куда он должен целиться при стрельбе по свободно падающей мишени, если выстрел производится одновременно с началом ее падения?
Решение. Выберем систему отсчета, связанную со свободно падающей мишенью. В этой системе отсчета мишень неподвижна, а дробинки летят равномерно и прямолинейно со скоростью vo, приобретаемой в момент выстрела. Так происходит потому, что свободное падение всех тел в системе отсчета, связанной с землей, происходит с одинаковым ускорением g,
В системе отсчета, свободно падающей с ускорением g, где мишень неподвижна, а дробинки летят прямолинейно, становится очевидным, что целиться нужно точно в мишень. Этот факт не зависит от значения начальной скорости дробинок — она может быть любой. Но при слишком малой начальной скорости дробинки могут просто не успеть долететь до мишени, пока она находится в свободном падении. Если мишень падает с высоты Л, а начальное расстояние до нее по прямой равно /, то, как легко убедиться, должно быть выполнено неравенство
откуда и получается ограничение на начальную скорость дробинок:
При меньшей начальной скорости дробинки упадут на землю раньше мишени.
5. Граница достижимых целей. В предыдущем параграфе была найдена граница простреливаемой области при заданном значении начальной скорости v0. Все рассуждения проводились в системе отсчета, связанной с Землей. Найдите эту границу, рассматривая движение в свободно падающей системе отсчета.
Решение. Предположим, что частицы вылетают из начальной точки одновременно по всем направлениям с одинаковым значением начальной скорости и0. Если бы земное притяжение отсутствовало, частицы двигались бы равномерно и прямолинейно и в любой момент времени t находились бы на сфере радиуса r(t) = с центром в начальной точке. Такое «выключение» силы тяжести эквивалентно переходу в свободно падающую систему отсчета. В системе отсчета, связанной с землей, вся эта расширяющаяся с течением времени сфера еще и падает с ускорением свободного падения g, и ордината ее центра в момент t равна —gt2H.
Для нахождения границы «простреливаемой» области достаточно рассмотреть сечение этой сферы вертикальной плоскостью ху, проходящей через начальную точку. Это сечение представляет собой окружность радиуса г = v0t, которая «падает» с ускорением свободного падения g. Ее уравнение имеет вид
(3)
§ 14. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
81
На самом деле это уравнение целого семейства окружностей: придавая t разные значения, получаем окружности, на которых находятся частицы в различные моменты времени. Искомая граница — это огибающая такого семейства окружностей (рис. 60). Очевидно, что высшая ее точка лежит над точкой вылета частиц.
Будем искать границу следующим образом. Заметим, что вылетевшие в один и тот же момент времени частицы достигают границы в разные
Рис. 60. Граница достижимых целей как огибающая семейства окружностей
моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне у, найдем на ней наиболее удаленную от оси ординат точку, которой еще достигают частицы, не задумываясь о том, какой окружности эта точка принадлежит. Абсцисса х этой точки, очевидно, удовлетворяет уравнению (3) семейства окружностей. Переписав его в виде
убеждаемся, что правая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно t2-.
Его максимальное значение при фиксированном значении у есть
Выражая отсюда у как функцию х, получаем уравнение границы простреливаемой области:
^~+ («'?- gy)t2- У2.
совпадающее с найденным ранее. Подчеркнем, что здесь граница получена как огибающая семейства окружностей, на которых находились частицы, вылетевшие в один и тот же момент времени. Так как траектория каждой
82
I. КИНЕМАТИКА
отдельной частицы представляет собой параболу в системе отсчета, связанной с Землей, то эта граница одновременно является огибающей таких парабол.
• Какие из кинематических величин изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой, а какие остаются неизменными?
• Объясните, почему относительная скорость двух частиц одинакова во всех системах отсчета.
• Приведите аргументы, свидетельствующие о том, что классический закон преобразования скорости при переходе от одной системы отсчета к другой опирается на представление об абсолютном характере времени.
