Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в другую систему отсчета, в которой автобус покоится. Эта система отсчета движется относительно земли в левую сторону со скоростью и. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость и, направленную вправо (рис. 2.2). Полная скорость человека в новой системе отсчета V равна векторной сумме и и скорости человека относительно земли v.
Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчета автобус неподвижен, то
3. РАДИУС КРИВИЗНЫ
13
требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора v определяется таким же построением, как и в предыдущей задаче (рис. 2.3). Траектория человека в системе отсчета, где автобус неподвижен,— это прямая АС. Траектория же в системе отсчета, связанной с землей,— прямая AD.
и
Рис. 2.2. Скорость человека в системе отсчета, где автобус неподвижен
Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом а к нему, причем
sin a—vlu.
Из рлс. 2.3 видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки В на расстоянии, не меньшем
sm\n = lV и? — v2/v.
Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчета позволяет значительно облегчить решение. ^
3. Радиус кривизны. Найти радиус кривизны циклоиды в верхней точке ее дуги — в точке А на рис. 3.1.
Д Нахождение радиуса кривизны заданной кривой — это, разумеется, чисто геометрическая задача. Для ее решения достаточно знать уравнение кривой. Поэтому на первый взгляд не ясно, какое отношение к физике имеет поставленный в задаче вопрос.
Однако иногда такие задачи можно очень просто решить, воспользовавшись тем, что радиус кривизны кривой входит в некоторые кинематические формулы. Основная
D
В
С ,
Рис. 2.3. К нахождению направления движения человека
14
I. КИНЕМАТИКА
идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.
Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана циклоида, которую
А
Рис. 3.1. Циклоида
«вычерчивает» точка А, находившаяся внизу в начальный момент. Точка А описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало.
/
Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса
Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого v равна произведению угловой скорости на радиус колеса г.
Во всех инерциальных системах отсчета материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчета. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение а любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением
a~v2lr. (1)
Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно иг1г и направлено вниз (рис. 3.2).
Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в высшей точке
4. ПАДАЮЩИЙ МЯЧ
15
циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т. е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть записано также в виде
a^VVR, (2)
где V — скорость точки обода в ее верхнем положении, a R — искомый радиус кривизны циклоиды.
Для нахождения V будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При от-
сутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю. В верхней точке они и направлены одинаково. Поэтому V=2v, и, сравнивая формулы (1) и (2), находим
R=4r. (3)
Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса (рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно и было бы, если бы мгновенная ось вращения О оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и именно поэтому рассматриваемая точка обода А движется в этот момент по окружности, радиус которой дается формулой (3). А
