Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
попасть в точку В на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии s ниже по течению? На какое минимальное расстояние smin снесет лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль ее скорости относительно воды равен и?
Л Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчетливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов V есть векторная сумма скорости течения и
10
I. КИНЕМАТИКА
и скорости лодки относительно воды v (рис. 1.2):
V=u + v. (1)
Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость v. Тогда, отправляясь из точки А, лодка сможет попасть в точку В только в том случае, если ее скорость относительно берегов
V удастся направить по прямой АВ или левее этой прямой. Если ни при каком направлении v мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость V вдоль
Рис. 1.3. Выбор направления Рис. 1.4. К вычислению минискорости лодки v для пере- мальной скорости ит;п
правы из Л в В
прямой АВ, то лодку обязательно снесет течением ниже точки В (рис. 1.3).
Нужное нам направление вектора V может быть получено при разных значениях вектора г». Скорость течения и во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды v может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега V направлена именно по прямой АВ, а скорость v перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображенных прямоугольных треугольников находим
vmJu = l!Vl4^. (2)
Отметим, что если мы хотим попасть в точку В, двигаясь с минимальной возможной скоростью ит!п,тонам придется направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки АВ. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной дели!
1. ПЕРЕПРАВА
1!
Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (и) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (V") мы выбрали, исходя из условия задачи — требования попасть в точку В. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (©) ее нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению V.
v>u
iV
' А
Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом
Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения и и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения
(1) — скорости лодки относительно воды v, то заранее известен только ее модуль и, а направление может быть любым. Если начало вектора v совместить с концом вектора а (рис. 1.5), то конец вектора v может лежать в любой точке окружности радиуса V. Из рис. 1.56 сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если v<.u. Если же скорость лодки v больше скорости и, то при должном выборе направления v можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при v^>u можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.
Анализ рис. 1.56 показывает, что при v<iu снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов V направлена по касательной к окружности радиуса v. Сравнивая изображенные на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки smin:
(3)
12
I. КИНЕМАТИКА
A
Посмотрите еще раз на рис. 1.56 и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы ее спос течением был минимальным. ^
2. Как опередить автобус? Человек находится в поле па расстоянии / от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать
и на дорогу впереди автобуса
d_ 8 _________ как можно дальше от него?
Скорость автобуса и, скорость человека у.
А Интерес, разумеется, представляет только случай v<Cu, так как при v>u человек может убежать от автобу* Рис. 2.1. Бежать к шоссе нуж- са на любое расстояние, но не по кратчайшему пути Чтобы выбежать на шоссе
как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то все равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом а к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину А1, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии d левее точки В. Если выбрать угол а достаточно малым, то расстояние d можно сделать больше расстояния А/ в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека v меньше скорости автобуса и, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке В.
