Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
4. Падающий мяч. Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии I от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис. 4.1). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии h от кольца?
Л В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т. е. его направление (угол а) и модуль (у0). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчета, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время t от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 4.2). В ре-
|0 I. КИНЕМАТИКА
зультате приходим к системе уравнений
А = 4-, Я —A = y„sina-<—-С-,
* (!) V1г—Яа = у0 cos a-t.
Здесь Я — высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а К/2—Я2 представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).
В системе трех уравнений (1) четыре неизвестных величины: d0, ос, t и Я. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя А из первого уравнения во второе, получаем
H—v0sina-t. (2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для tg a:
tga = tf/J/>—Н\ (3)
Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол а, под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости va показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя t = V2h/g из первого уравнения системы (1) в уравнение (2).
5. В ЦЕЛЬ С НАИМЕНЬШЕЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ 17
Учитывая, что Я/sin а—1, получаем
v0 — l/t — I ]/~ g/2h.
(4)
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчета, связанную с баскетбольным мячом, т. е. свободно падающую с ускорением sr- в этой системе отсчета баскетбольный мяч,
естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью v0- Очевидно, что эта скорость <ой должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время t=l!v0 мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчета за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние
откуда для v0 получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчета. ^
5. В цель с наименьшей начальной скоростью. Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте h и на расстоянии s по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
А На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. 5.1а).
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи
Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей
Рис. 4.3. Истинное направление вектора г>0 начальной скорости
(5)
18
I. КИНЕМАТИКА
можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. 5.16), в том числе и в предельном случае Л=0. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. 5.16). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полета камня, неверно.
Ошибочность этого предположения становится еще более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как h —> 0.
Приведенный анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к ответ либо очевиден, либо
Из приведенного качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. 5.1б). Еще раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.
Приступим к решению задачи.
Пусть камень брошен под углом а к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали s и по вертикали h могут быть записаны следующим образом:
s=v0 cos a-t, h=vо sin a-t—gt2/2.
Поскольку время полета камня t нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая t из первого уравнения
