Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
симость координат снаряда от времени имеет вид x(t) = v0cosa-t, y(t) = v0s\na-t—SL..
Исключив из этих уравнений t, получим уравнение траектории снаряда y=f(x):
y = xtga—f^-(l + tg2a). (I)
2d0
Это уравнение параболы. Коэффициенты при х и х2 зависят от угла а, т. е. при разных направлениях начальной скорости получаются различные траектории. Таким образом, данное уравнение описывает семейство траекторий при одних и тех же по модулю, но различных по направлению начальных скоростях и0.
Но этому же уравнению можно придать и другой смысл. Будем теперь рассматривать х и у как координаты определенной цели, в которую попадает снаряд, двигаясь по некоторой траектории. Тогда при заданных координатах цели х и у уравнение (1) определяет угол, под которым нужно выпустить снаряд с начальной скоростью у0 для того, чтобы он попал в эту цель. Решая это. квадратное относительно tg а уравнение, находим
^ ~ 1Уо± Vvl—g (gx2 + 2t%y)\. (2)
Если уравнение имеет вещественное решение, т. е. дискриминант неотрицателен:
vl—g {gx2 + 2vly) > 0, (3)
то в цель попасть можно. Если вещественных решений нет, т. е.
^о—g (gx2 + 2и'оу) < 0,
то в цель попасть нельзя. Это значит, что цель находится за пределами искомой границы. Координаты цели, расположенной на границе, должны удовлетворять соотношению vl—g(gx2+2vly)=0. Выражая отсюда у как функцию х, получаем уравнение границы в явном виде:
У 2g 2vl ' W
Это уравнение параболы с вершиной при х=0, y=*vl/2g. Коэффициент при х2 отрицателен, т. е. ветви параболы направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках
26
I. КИНЕМАТИКА
x=±v\lg (рис. 7.2). Итак, полученная граница действительно проходит через точки, которые вначале были нами установлены из элементарных соображений.
Мы нашли сечение граничной поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением этой параболы вокруг оси у.
В связи с приведенным решением сделаем еще несколько замечаний. Рассмотрим какую-либо точку, находящуюся ближе границы (например, точку А на рис, 7.2). Для такой точки подкоренное выражение в формуле (2) положительно,
и, следовательно, через нее проходят две траектории (при заданном значении начальной скорости), соответствующие двум возможным значениям угла а.
В баллистике одна из этих траекторий называется настильной, а другая, касающаяся границы до попадания в цель,— навесной. Через каждую точку, принадлежащую границе, проходит лишь одна траектория. Отметим, что граница является огибающей для семейства траекторий при различных направлениях начальной скорости и фиксированном значении начальной скорости v0.
Приведем другой возможный путь решения этой задачи, связанный с еще одной трактовкой уравнения (1). Рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от орудия на расстояние х, и найдем на ней самую высокую точку, в которую еще может попасть снаряд. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума у, т. е. правой части уравнения (1), рассматриваемой как функция угла а. Правая часть есть квадратный трехчлен относительно tg а и имеет максимум при tg a=vl/gx. Соответствующее максимуму значение у получается подстановкой этого значения tg а в уравнение (1):
что совпадает с полученным ранее уравнением границы (4). А
8. Грязь от колес. Телега равномерно катится по горизонтальной мокрой дороге. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса?
Л Эта задача во многом подобна предыдущим. Самая
8. ГРЯЗЬ ОТ КОЛЕС
27
существенная особенность заключается, пожалуй, в том, что для ее решения нельзя поместить начало координат в исходную точку траектории капли, так как отрыв капель происходит в разных точках обода колеса. Совместим поэтому начало координат с центром колеса, т. е. будем рассматривать движение капель в системе отсчета, связанной с телегон, движущейся равномерно и прямолинейно относительно земли. Очевидно,что максимальная высота подъема капель по вертикали не зависит от того, рассматривать их движение в системе отсчета, связанной с землей, или в системе отсчета, связанной с равномерно движущейся по горизонтали телегой. Если скорость телеги равна Vo и колеса не пробуксовывают, то в выбранной системе отсчета скорость
любой точки обода также равна v0. (Докажите последнее утверждение сами — это совсем просто.) Положение любой из точек, в которых происходит отрыв капли от обода, однозначно определяется углом <р (рис. 8.1).
Текущие координаты капли, оторвавшейся от обода колеса в точке, характеризуемой углом <р, определяются соотношениями
x{t)=—R cos ф-Но sin q>‘t, (1)
y(t)=R sin cp-f0o cos ф-/—gt2/2. (2)
Для нахождения максимальной высоты подъема капли утах нужно подставить в уравнение (2) время подъема капли /i, которое проще всего найти следующим образом. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости vy обращается в нуль: vy=va cos <p—gti—О, откуда
