Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории
более простому случаю, когда может быть легко найден.
5. В ЦЕЛЬ С НАИМЕНЬШЕЙ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ
19
и подставляя во второе, получаем
h = s\ga~ gs\ . (1)
2t>o cos2 a
Это уравнение содержит две неизвестные величины v0 и а и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению у0-
Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении и0 как функции от а из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно а. Используя известное соотношение
1 /cos2 a = l+tg2 а, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно tg а:
gs2 tg2 а — 2v\s tg а + gs2 + 2v\h = 0. (2)
Решив его, получим
tg “ = [и? ± Vvl—g(gs2+ 2vlhj].
Казалось бы, ничего хорошего не получается — гро-моздког выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для tg а физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
2ghvt—g2s2 ^ 0.
Легко убедиться, что минимальное значение vl, при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,
Ио min = S (h + V h2 + s2).
(Второй корень vl min = g(h — h2 + s2) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид
^0 min = g (h + Vh2 + s2). (3)
Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для tg а. При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т. е. при заданном значении v0 камень может попасть в цель
20
I. КИНЕМАТИКА
по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т. е. ни при каком значении угла а камень не попадет в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полета камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для tg а имеет особенно про-
стои вид:
2
tga = J!?n!!iL = ^ii±i!. (4)
& gs s \ /
Проверим правильность полученного результата предельными переходами.
1. Если /г=0, то tga = l, т. е. камень нужно бросить под углом л/4. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полета по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности — минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.
2. Если s-> 0, то tg а -> <х>, а а -> я/2. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.
Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для tg а имели физический смысл, т. е. были вещественными.
Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии s чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум и0 при заданном h, можно искать максимум h при заданном v0.
Предположим, что и0 задано. Тогда, выразив h из (2):
h=—Й-tg^a + stga-^-,
2vo 2v\
легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно tg а на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена у=ахг-\-Ьх-\-с (а<0) имеет место при х——Ы2а и равен с—Ьг/4а.) Максимальное значение h достигается при tg a—vl/gs и равно
2 «
1. Ио &s
6. В ЦЕЛЬ ЗА СТЕНОЙ
21
Из (5) находим минимацьное значение начальной скорости и0 при заданной высоте цели h, совпадающее с полученным ранее. ^
6. В цель за стеной. Между целью и минометом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой h. Расстояние от миномета до стены равно а, а от стены до цели Ь. Определить минимальную начальную скорость мины, необхо-димую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Л Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока ника- _ ких формул. Рассмотрим О все траектории, прохо- Рис. 6.1. Траектории, проходящие дящие через цель, забыв чеРез цель
на время о существовании стены. На рис. 6.1 выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол а=45°. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и все.
