Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
щ
&¦ v*44
\ N
\\ N
V '
Ч \
\ \
1
\ 0 1 S'
Рис. 8.1. Траектории ка-
пель в системе отсчета, связанной с телегой
к
g
COS ф.
(3)
Тогда максимальная высота подъема капли, оторвавшейся от обода в рассматриваемой точке,
i/max = — Sin
2 2 ^0 • л - г\ • . V()
''¦"2ф + ^81Пф+2^.
(4)
(В этой формуле cos <р выражен через sin ф.)
28
I. КИНЕМАТИКА
Из (4) видно, что максимальная высота подъема зависит от угла ф, т. е. от того, в какой точке произошел отрыв капли. В какой же точке должна оторваться капля, чтобы подняться выше всех остальных? Выражение (4) для максимальной высоты подъема представляет собой квадратный трехчлен относительно sin ф и принимает свое наибольшее значение
и (5\
2vt ^ 2g
при sin ff—gR/vl. Конечно, этот результат имеет смысл, если gR<v20, т. е. если телега катится достаточно быстро. В противном случае, как нетрудно убедиться, ни одна из отрывающихся капель не поднимается выше верхней точки обода. Докажите это самостоятельно.
С помощью соотношения (1) легко увидеть, что найденная точка наивысшего подъема лежит точно над осью колеса: подставляя (3) в (1) и учитывая, что sin (f=gR/va0, получаем л:=0.
Ответ на поставленный в задаче вопрос — формула (5) для наибольшей высоты подъема отрывающихся капель —-получен путем исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно sin ср. Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение утах и решим уравнение
(4) относительно sin ф:
8тФ1,2 = 4± (6)
Vo Г \ Vo / Vo
Здесь углы ф1 и ф2 определяют те точки обода, отрываясь от которых капли достигают заданной максимальной высоты. Если вещественных корней нет, то заданного значения утт не достигает ни одна капля. Если есть два различных вещественных корня ф! и ф2, то заданная высота является максимальной для двух капель. Это отчетливо видно из рис. 9.4 задачи 9 про «мокрое» колесо. Наибольшей высоты из всех капель, как видно из того же рисунка, достигает только одна капля. Следовательно, эту наибольшую высоту /гтах можно найти, потребовав, чтобы оба корня уравнения (6) сливались в один: приравнивая дискриминант нулю, получаем ответ — формулу (5).
Итак, получено исчерпывающее решение этой задачи. Как и предыдущие задачи, мы решили ее, используя уравнения движения (1) и (2), которые дают зависимость коорди-
Q. КАПЛИ С ВРАЩАЮЩЕГОСЯ КОЛЕСА
29
нат движущегося тела от времени. Эти уравнения содержат всю информацию о движении тела. Но во многих случаях полная информация бывает не нужна. Например, в обсуждаемой задаче нас совершенно не интересуют временные зависимости — требуется найти лишь положение точки наивысшего подъема капли, а момент времени, когда капля там оказывается, интереса не представляет. В подобных случаях часто оказывается удобным с самого начала исключить избыточную информацию, воспользовавшись законами сохранения. В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъема капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем
Р п • I fTlVtj
E1 = mgRsm<p
В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке
, т (v0 sin ш)а
Е2 -mgymax +.... ¦
Приравнивая Ег и Е2, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения! ^
9. Капли с вращающегося колеса. «Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.
А Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение g. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени t все капли лежат на окружности радиуса г (рис. 9.1), для которого с помощью теоремы Пифагора можно написать
r*(t)=R*+(v»ty, (О
где R — радиус колеса, v0 — скорость точек обода.
30
I. КИНЕМАТИКА
Радиус окружности г увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность еще и «падает» с ускорением свободного падения g. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени t ордината центра окружности равна —gttf2.
