Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
r(t) = r0 + Vt, (1)
а для равнопеременного движения с ускорением а
nf 2
г (0 = /'о + ®о^+—2~¦ (2)
В этих формулах г0 характеризует начальное положение точки, т. е. /'о=/'(01< = о=/'(0)> *о — начальная скорость.
Подчеркнем, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путем, либо расчетным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперед, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе отсчета, если на точку не действуют силы (или все действующие силы уравновешиваются), а уравнение (2) — если действующие силы постоянны. В последнем случае говорят, что движение тела происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что высота тела над поверхностью малд по сравнению с радиусом Земли. Разумеется, движение тела вблизи поверхности Земли
8
I. КИНЕМАТИКА
описывается уравнением (2) только тогда, когда можно не учитывать сопротивление воздуха.
Итак, функция г (I) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т. е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость r(t). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид
v (t) = v0-}-at.
При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении а всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость х, у с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям
х (0 = Х0 + v0xt -7j—, У (() = (/о~Ь V0yt -)-——. (3)
В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось у вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: ах= О, ау=—g, и система (3) принимает вид
х (О^^О + ^Ол^ = *0 + t’o COS (f-t,
?it2 jP/2 (41
yU) = !/<) + v0vt—^-=y0 + v0sin(p-t — ^-;
где <p — угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда х0=у0= 0.
При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т. е. по нормали к траектории, и равно по модулю
a = v2/R, (5)
где R — радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью v по произвольной криволинейной траектории. В этом случае R есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости,
1. ПЕРЕПРАВА
9
направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет еще составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.
Решение кинематической задачи сводится к использованию указанных выше уравнений в конкретных условиях, сформулированных в задаче. При этом было бы наивно пытаться овладеть каким-то «общим методом» решения, пригодным для всех задач; подобного «общего метода» попросту не существует. Наоборот, на приводимых примерах читатель может убедиться, что всегда существует несколько более или менее различающихся между собой подходов к исследованию физических явлений.
Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные »арианты решения.
1. Переправа. Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми I (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна и.
С какой наименьшей постоянной скоростью ©min относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки А
-к
/
fi
Рис. 1.1. Скорость течения и Рис. 1.2. Скорость лодки отно-
в любом месте реки одинакова сительно берегов V равна сумме векторов и и о
