Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 9.1. В отсутствие Рис. 9.2. Граница «мокрой» области тяжести капли движутся как огибающая окружностей
прямолинейно
Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид
x*+{y+gmy=r\t). (2)
Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая t разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 9.2). Ясно, что высшая
точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 9.3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.
Будем искать эту границу следующим образом. Заметим, что капли, оторвавшиеся от колеса в один и тот же момент времени, достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне Y, найдем на ней наиболее удаленную от оси у «мокрую» точку, не задумываясь о том, какой окружности она принадлежит. Абс-
Рис. 9.3. «Мокрая» область заштрихована
9. КАПЛИ С ВРАЩАЮЩЕГОСЯ КОЛЕСА
31
циссу X точки пересечения любой окружности с этой прямой можно найти, подставив в уравнение окружности
(2) ординату y=Y и радиус г из уравнения (1):
(У+г**/2)*. (3)
Легко видеть, что правая часть (3) есть квадратный трехчлен относительно i2:
Ха=—g2*4/4-H^—gY)t*+R2— Y\
Его максимальное значение
(4)
Г 8
Разрешая (4) относительно Y, получаем уравнение границы «сухой» области:
g v. , sR2 , vl
У =
______ Y2 I gfl2
2vl + 2vi '' 2g-
(5)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится на оси у на высоте gR2l2vl-\-vll2g.
Рис. 9.4. Граница «мокрой» области как огибающая парабол — траекторий
Рис. 9.5. Граница «мокрой» области при медленном вращении колеса
Граница была найдена как огибающая семейства окружностей, на которых находились капли, оторвавшиеся в один и тот же момент времени. Между тем траектория каждой отдельной капли представляет собой параболу, и поэтому найденная граница (5) является огибающей этих парабол (рис. 9.4).
Интересно отметить, что задачи 7 и 8 являются частными случаями этой задачи. Действительно, в задаче 8 фактически требовалось найти лишь верхнюю точку границы «мокрой» области: при Х=0
gR*
Vo
32
I. КИНЕМАТИКА
Задача 7 получается из этой задачи, если устремить к нулю радиус колеса R при неизменной скорости v0. Уравнение границы достижимых целей получается из (5), если в последнем положить R — 0:
Y =------^-Хг + —.
2vl 2 g-
При решении этой задачи мы молчаливо предполагали, что искомая граница проходит вне колеса. Как и в предыдущей задаче, легко убедиться, что это справедливо при условии vt>gR. В противном случае (vl <gR) граница «мокрой» области в своей верхней части проходит по ободу колеса (дуга окружности), а затем плавно переходит в ветви параболы (рис. 9.5). А
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Динамика изучает, как происходит движение тела при его взаимодействии с другими телами. Взаимодействие описывается на языке сил, действующих на тело. Основу динамики материальной точки составляют три закона Ньютона. Первый закон выделяет те системы отсчета, в которых уравнения динамики имеют наиболее простой вид,— это так называемые инерциальные системы отсчета. Второй закон Ньютона устанавливает связь между ускорением, с которым движется материальная точка в инерциальной системе отсчета, и действующими на нее силами. Третий закон связывает между собой силы, с которыми тела действуют друг на друга.
В динамике взаимодействие тел считается заданным: например, гравитационное взаимодействие материальных точек описывается законом тяготения, а электростатическое взаимодействие точечных зарядов — законом Кулона. Выражения для сил, входящих в законы Ньютона, должны быть взяты из других разделов физики, где изучается их природа.
Решение динамической задачи следует начинать с анализа всех сил, действующих на интересующее нас тело.
Остановимся несколько подробнее на тех видах сил, которые встречаются в задачах этого раздела. Гравитационное взаимодействие тел осуществляется посредством создаваемых ими полей тяготения. Тело со сферически-снмметричным распределением масс (например, земной шар) создает в окружающем пространстве такое же гравитационное поле, как и материальная точка такой же массы, помещенная в его центр. В задачах о движении спутников Земли удобно выражать действующую на них силу притяжения Земли через расстояние спутника до центра Земли г, ускорение свободного падения g на поверхности Земли и ее радиус R:
