Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Apx&h/Ax&h/d. (4)
В результате после прохождения диафрагмы появляется неопределенность в направлении движения электрона, обусловленная действием квантовых закономерностей. Для характеристики этой неопределенности удобно ввести угол 0КВ согласно соотношению
АРх ^ h
Р ~ Pd'
Таким образом, как видно из формулы (5), благодаря квантовым эффектам при уменьшении диаметра отверстия d происходит расширение пучка и, как следствие, увеличение
(5)
7. УЗКИЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК
451
размера пятна на экране трубки. Очевидно, что уменьшать отверстие в диафрагме следует только до тех пор, пока размытие пучка 0KD не сравняется с его угловым размером 0, определяемым классическими траекториями электронов: 0КВ=О. Используя соотношения (5) и (2), из этого условия определяем оптимальный размер отверстия во второй диафрагме:
d да V hljр. (6)
Если сделать диаметр отверстия меньше этой величины, то диаметр пятна увеличится вследствие квантовых эффектов.
К результату, выражаемому формулой (6), можно прийти и другим путем, не используя соотношения неопределенностей Гейзенберга. Действие квантовых закономерностей проявляется в том, что электрон обладает волновыми свойствами, которые приводят к дифракционным явлениям. Длина волны %, соответствующей электрону, зависит от его импульса и определяется соотношением де-Бройля:
l=h/p. (7)
Для того чтобы воспользоваться этим соотношением для ответа на вопрос задачи, нужно прежде всего сообразить, что классическому представлению о движении электронов по определенным траекториям соответствует приближение геометрической оптики, в котором описание распространения волн производится с помощью понятия лучей. Короче — классическим траекториям соответствуют лучи. В рассматриваемом опыте прямолинейному классическому движению электронов между диафрагмами и экраном соответствует пучок прямолинейных лучей. В этом приближении ¦ чем меньше размер отверстия, тем меньше размер пятна на экране, в полном соответствии с формулой (2). Но уменьшение размера отверстия в конце концов приведет к проявлению дифракционных явлений. Дифракционные явления в любом приборе дают отклонения от геометрического закона распространения лучей на углы порядка отношения длины волны к размеру препятствия. Поэтому характерный угловой размер 0ВОЛ дифракционного расширения при прохождении волны через отверстие диаметром d определяется соотношением
0,ол = *Л*. (8)
Если подставить сюда дебройлевскую длину волны электрона из формулы (7), то для углового расширения пучка
452
X. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
за счет проявления квантовых эффектов получится прежнее выражение (5).
Приведем числовые оценки для оптимального размера отверстия во второй диафрагме. При ускоряющем напряжении V = 10 кВ импульс электрона составляет, как следует из формулы (1), /7=5,4-Ю-18 г-см/с. Примем расстояние между диафрагмами / равным 1 см. Тогда согласно фор-муле(6)для оптимального диаметра получаем^=3,5 •10~5см. Размер пятна D на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние L, вычисляется, как видно из рис. 7.1, по формуле
D=LQ = j-L
и при L—50 см не превосходит 2-10-3 см.
Практически добиваться получения пятна столь малого размера нет необходимости. Поэтому размер отверстия в диафрагме можно делать больше. При этом квантовые зф-Г)>екты в движении электронов проявляться не будут, и их траектории можно рассчитывать по законам классической механики.
Как ясно из приведенного решения этой здачи, наглядное представление о границах применимости классического описания движения частиц можно получить, оценивая соответствующую нм длину волны де-Бройля. В рассмотренном примере согласно формуле (7) эта длина волны л=10~9 см. При больших энергиях электронов дебройлев-ская длина волны будет еще меньше, и их движение в макроскопических приборах можно описывать классически. Например, в камере Вильсона след заряженной частицы представляет собой цепочку водяных капель, каждая диаметром около 10_3 см. В этих условиях, когда поперечная координата пролетающей частицы задается именно с такой неопределенностью, ее можно рассматривать как классическую частицу, движущуюся по траектории. ^
8. Атом водорода и соотношения неопределенностей.
Применение соотношений неопределенностей к движению электрона в атоме показывает, что классическое описание здесь непригодно и необходимо использовать квантовые законы. Соотношения неопределенностей представляют собой фундаментальное положение квантовой теории, которое не только устанавливает границы применимости классических представлений, но и позволяет исследовать свойства
8. ATOM ВОДОРОДА И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 453
квантовых систем. Рассмотрите атом водорода, пользуясь этими соотношениями. Оцените размер атома и энергию связи электрона в основном состоянии (т. е. энергию ионизации).
