Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Однако применение одного лишь закона сохранения энергии может привести к получению неправильных значений пороговых величин, так как такое энергетическое превращение может оказаться несовместимым с законом сохранения импульса. С подобным примером мы уже встречались в задаче 3 при рассмотрении рождения фотоном электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Поэтому для определения коротковолновой границы сплошного спектра тормозного рентгеновского излучения следует, строго говоря, применить к элементарному акту как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса.
Испускание рентгеновского фотона может произойти, когда электрон пролетает вблизи какого-либо ядра вещества антикатода, испытывая действие сильного электрического поля. В этом случае электрон может передать часть своего импульса ядру, что обеспечит сохранение полной энергии и импульса всей системы. Поскольку масса ядра много больше массы электрона, то в элементарном акте взаимодействия с электроном, при котором рождается рентгеновский фотон, ядро может «принять на себя» любой импульс, практически не получив при этом никакой энергии. Поэтому закону сохранения импульса не будет противоречить процесс, при котором налетающий электрон останавливается, расходуя всю свою кинетическую энергию только на излучение фотона. Именно этому процессу и соответствует уравнение (4).
В рассуждениях использовалось только то обстоятельство, что масса налетающего электрона много меньше массы ядра. Какое именно ядро участвует в процессе — значения не имеет. Поэтому верхняя граница частоты тормозною излучения v0 не зависит от материала антикатода. Так как при излучении фотона с энергией hv„ электрон передает ему всю свою энергию, то совершенно ясно, что при данном ускоряющем напряжении V на трубке частота и характеристического излучения не может быть больше значения v„, определяемого уравнением (4).
Теперь для ответа на второй вопрос задачи нужно только сравнить формулы (3) и (4). Поскольку установив-
7. УЗКИЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК
449
шееся значение разности потенциалов U между шариком электрометра и землей при фотоэффекте определяется именно верхней границей частот падающего рентгеновского излучения, то ускоряющее напряжение на рентгеновской трубке V как раз равно U, т. е. 8 кВ. А
7. Узкий электронный пучок. Для уменьшения размеров пятна на экране электронно-лучевой трубки можно после катода на некотором расстоянии I друг от друга поставить две диафрагмы с отверстиями (рис. 7.1). Покажите,
Рис. 7.1. Для уменьшения размера пятна на экране можно использовать две диафрагмы с отверстиями
что для второго отверстия существует оптимальный диаметр, соответствующий наименьшему размеру пятна на экране.
Д После прохождения ускоряющего промежутка, на который подано постоянное напряжение V, электроны в трубке движутся равномерно, с практически одинаковыми по модулю импульсами р, определяемыми из соотношения
p2/2m—eV. (I)
Для кинетической энергии электронов здесь использовано нерелятивистское выражение, поскольку на практике при ускоряющих напряжениях порядка 10 кВ электроны разгоняются до скорости, не превышающей 0,2 скорости света. Релятивистские поправки составляют при этом всего 2 %.
Будем сначала считать электрон классической частицей, движение которой описывается законами Ньютона. Пусть отверстие в первой диафрагме настолько мало, что его можно считать точечным. В этом случае диаметр пятна на экране трубки будет тем меньше, чем меньше отверстие во второй диафрагме. В самом деле, электроны в пучке движутся прямолинейно, и из рис. 7.2 видно, что угловой
450 X. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ и КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
размер пятна 0 определяется соотношением
Q=d/l,
(2)
Рис. 7.2. Угловой размер пучка 0 зависит от диаметра d отверстия во второй диафрагме
где d — диаметр отверстия во второй диафрагме. Поэтому-ясно, что если бы электроны действительно вели себя как классические частицы, то размер пятна на экране трубки можно было бы сделать сколь угодно малым. Но в действительности это не так. Если неограниченно уменьшать диаметр отверстия во второй диафрагме, то классические представления о движении электрона по определенной траектории рано или поздно окажутся неприменимыми. Как определить, с какого момента в рассматриваемой системе начнут проявляться квантовые закономерности и к каким последствиям для размера пятна на экране это приведет?
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью соотношений неопределенностей Гейзенберга, которые устанавливают пределы применимости классического способа описания. Если электрон прошел через отверстие во второй диафрагме, то неопределенность в значении его координаты в направлении поперек пучка Ах определяется размером отверстия d:
Ax&d. (3)
В силу соотношения неопределенностей при прохождении через это отверстие электрон приобретает неконтролируемый импульс Арх, перпендикулярный оси пучка:
