Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
x(t)=x0—ai*/2, (7)
где
а = ^эл____ео ^ tjU*
m 2 tnd
Амплитуда таких колебаний, как видно из рис. 11.2, совпадает с начальным смещением пластины х0 из положения равновесия. По истечении первой четверти периода колебаний x{t) в левой части соотношения (7) обращается в нуль.
(8)
374
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Поэтому для полного периода колебаний Т получаем
Т = 4 V 2xja. (9)
Видно, что период этих несинусоидальных колебаний зависит от амплитуды х0.
Если график зависимости смещения пластины конденсатора от времени еще хоть как-то напоминает косинусоиду, то график скорости уже совершенно не похож на то, что должно быть при гармонических колебаниях. Поскольку
Рис. 11.2. Графики смещения и скорости при колебаниях диэлектрической пластины в конденсаторе
ускорение пластины постоянно по модулю и только скачком меняет направление на противоположное в моменты прохождения пластиной положения равновесия, то график скорости v(t) представляет собой «пилу», показанную на рис. 11.2. А
12. Колебания обруча. К невесомому обручу радиусом R, расположенному вертикально, прикреплена материальная точка массы пг. Обруч может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Если вывести обруч из положения равновесия так, чтобы диаметр обруча, проходящий через материальную точку, образовал небольшой угол ф0 с вертикалью (рис. 12.1), и отпустить без толчка, то возникнут колебания. Каков период этих колебаний?
Л Если обруч находится в положении устойчивого равновесия, то прикрепленная к нему материальная точка занимает самое нижнее положение. Когда обруч катится без проскальзывания, эта точка движется по циклоиде. Получим прежде всего уравнение этой циклоиды.
12. КОЛЕБАНИЯ ОБРУЧА
375
Выберем начало координат в положении равновесия материальной точки. «Прокатим» обруч по оси х так, что диаметр, проходящий через точку т, образует с вертикалью угол ф (рис. 12.2). Выразим координаты ги у интересующей нас точки через угол ф. При качении без проскальзывания
Рис. 12.1. При отклонении из положения равновесия невесомый обруч с точечной массой т будет совершать колебания
уравнения Длина дуги
отрезку ОВ
циклоиды. АВ равна
длина дуги AB=Rф равна длина отрезка ОВ. Поэтому непосредственно из рис. 12.2 видно, что
x=R (ф—sin ф), y=R{ 1—cos ф). (1)
При малых колебаниях обруча, когда угол ф<1, формулы (1) можно упростить. Для этого заменим sin ф на ф, тогда выражение для cos ф можно записать в виде
cos ф = V1 —sin2 ф « V1 —Ф2 ^ 1 —Ф2/2.
Теперь уравнения (1) переписываются следующим образом:
х~0, y=Rq>2/2. (2)
Из этих соотношений следует, что при малых колебаниях обруча закрепленная на нем точка движется практически по вертикали.
Найти закон движения материальной точки по известной траектории можно, вообще не рассматривая действующие силы, а используя только закон сохранения энергии. Так как при малых углах ф точка движется по вертикали, ее кинетическая энергия равна туг12. Считая потенциальную энергию равной нулю в положении равновесия, запишем закон сохранения энергии в виде
376
VIII.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Продифференцируем это уравнение по времени:
m'yy-)rmgy = 0. (4)
Так как у не равно нулю тождественно, то из этого соотношения после сокращения на ту получаем
y + g = 0- (5)
Это уравнение говорит о том, что ускорение материальной точки все время направлено вертикально вниз, постоянно по
модулю и равно ускорению свободного падения. Значит, при малых колебаниях невесомого обруча прикрепленная к нему материальная точка движется так же, как при свободном падении в поле тяжести. Каждый раз в момент прохождения через положение равновесия направление движения точки изменяется на противоположное, т. е. она ведет себя так же, как упругий стальной шарик, подскакивающий в поле тяжести над горизонтальной мраморной плитой.
Теперь легко написать уравнения, выражающие зависимость скорости и координаты точки от времени для первой четверти периода колебаний Т. Так как согласно (5) у——g, то
y{t) = -gU у(О=0о-3г (6) (0 < * < 774).
Здесь у0 — высота, на которой находилась масса т в начальный момент, когда обруч был отклонен от положения равновесия на угол ф0 и отпущен без толчка.
Графики зависимости скорости и координаты у от времени показаны на рис. 12.3. Могло бы показаться на первый взгляд, что период колебаний вдвое меньше указанного на этих графиках. Период действительно был бы вдвое меньше, если бы речь шла о подскакивающем шарике. Но для обруча это не так, ибо период колебания здесь определя-
Рис. 12.3. Графики скорости и вертикального смещения массы т и угла отклонения ф при малых колебаниях обруча
