Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
13. ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ КОЛЬЦЕ
377
ется временем полного цикла изменения угла <р, который состоит из отклонений обруча как в одну сторону, так и в другую. Это особенно отчетливо видно из графика зависимости угла отклонения от времени, который показан на том же рис. 12.3.
График зависимости ф(^) состоит из половинок эллипсов, в чем можно убедиться, подставив во вторую из формул (6) координату у, выраженную через угол ф с помощью соотношения (2):
Ф2(0 = Фо—(7)
Эту формулу можно переписать в виде
<т>2 4 2
+ = (8) фо Яфо/g
В ней легко узнать уравнение эллипса на плоскости t, <р. Полуоси этого эллипса равны ф0 VRig и <р0. Как видно из графика зависимости <р(/), полуось <p0 VR/g равна четверти периода колебаний обруча 774. Такое же значение для 774 можно, разумеется, получить и из уравнения (6).
Таким образом, период колебаний обруча
?' = 4ф0 KtfTi- (S)
Подчеркнем, что даже малые колебания такой системы не являются гармоническими и их период зависит от амплитуды ф0. А
13. Волны во вращающемся кольце. Кольцевой резиновый жгут раскручен вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца (рис. 13.1). Линейная скорость элементов жгута равна v. С какой скоростью будут распространяться по такому кольцу поперечные волны малой амплитуды?
Л Упругая поперечная волна в гибком резиновом жгуте может распространяться только в случае, если этот жгут натянут. Предварительное натяжение необходимо потому, что ненатянутый жгут, в отличие от твердого тела, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия. В рассматриваемом примере сила натяжения кольцевого жгута обусловлена его вращением. Найдем эту силу натяжения.
Выделим мысленно на вращающемся жгуте элемент А/, характеризуемый малым углом 0 (рис. 13.2). Силы и F2, действующие на выделенный элемент со стороны со-
378
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
седних участков, направлены по касательной к окружности. Модуль этих сил F — это и есть интересующая нас сила натяжения жгута. Равнодействующая сил Fi и F2 сообщает выделенному элементу жгута центростремительное ускорение v2/R. Масса выделенного элемента равна pSAl=pSRQ,
Рис. 13.1. Резиновое кольцо вращается вокруг вертикальной оси
Рис. 13.2. К вычислению силы натяжения вращающегося резинового жгута
где р — плотность резины, S — площадь поперечного сечения жгута. Поэтому на основании второго закона Ньютона имеем
FQ=pSR№/R, (1)
откуда
F=pSv\ (2)
Предположим теперь, что по этому кольцу распространяется упругая волна, в которой смещение элементов жгута происходит в направлении, перпендикулярном равновесной плоскости жгута. Пусть эта волна распространяется, например, в ту же сторону, в какую вращается кольцо. Для того чтобы найти скорость распространения этой волны в жгуте и, поступим следующим образом. Перейдем в новую систему отсчета К, в которой в некоторый момент времени окажется неподвижным определенный выделенный горб волны (рис. 13.3). Ясно, что эта система отсчета движется равномерно со скоростью u-\-v в направлении касательной к окружности, образуемой вращающимся жгутом. Выделенный горб будет в этой системе отсчета неподвижен в тот момент, когда его скорость окажется параллельной скорости введенной системы отсчета. В этот момент горб будет выглядеть застывшим, а вещество жгута будет скользить вдоль застывшего горба со скоростью и налево (рис.
13. ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ КОЛЬЦЕ
379
13.4). Поскольку новая система отсчета является инерци-альной, в ней также справедлив второй закон Ньютона. Применим его к движению элемента жгута, проходящего через вершину горба. Этот элемент движется со скоростью и по дуге окружности некоторого радиуса г, которая лежит в вертикальной плоскости и показана штриховой линией на рис. 13.4. Проекция уравнения второго закона Ньютона
Рис. 13.3. В некоторый момент времени горб, бегущий по жгуту, будет пеподвижеи во вспомогательной системе отсчета К
Рис. 13.4. В этой системе отсчета вещество жгута бежит через вершину застывшего горба со скоростью и
на вертикальное направление при движении по этой окружности записывается в виде
F(f—pSr(fu2/r. (3)
Отсюда для квадрата скорости распространения поперечной волны по жгуту имеем
u2=F/pS. (4)
Ясно, что такое же выражение для скорости волны будет справедливо и в случае прямолинейного жгута, натяжение которого создается внешними силами.
Подставляя в формулу (4) выражение для силы натяжения F через скорость вращающегося жгута v из (2), находим, что u—v. Другими словами, скорость поперечных волн относительно жгута, сила натяжения которого обусловливается его вращением, совпадает с линейной скоростью вращения жгута. Поэтому волны, которые бегут в ту же сторону, куда вращается жгут, движутся относительно неподвижного наблюдателя со скоростью 2и, а волны, бегущие навстречу вращению жгута, кажутся такому наблюдателю неподвижными. ^
