Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
(“>“*>• <7) Амплитуду колебаний груза х0 всегда можно сделать достаточно малой путем увеличения массы груза т. Однако увеличение массы потребует, как видно из формулы (6), увеличения жесткости пружины к.
Мы выяснили, что при правильном подборе жесткости пружины действительно возможно такое движение рассмотренной системы, при котором подставка с двигателем неподвижна. Однако остается вопрос о том, будет ли система сама приходить в такое состояние после включения двигателя. Ответ на этот вопрос положительный. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние. В любой реальной системе, где собственные колебания затухают, вынужденные колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.
Отметим, что при наличии затухания успокоение колебании подставки с двигателем, строго говоря, не будет абсолютным. Чтобы колебания вспомогательного маятника при наличии в нем трения происходили с неизменной амплитудой, к нему должна подводиться энергия. А это возможно только тогда, когда подставка с двигателем все-таки совершает колебания с небольшой амплитудой.
Рассмотренный в этой задаче способ успокоения вынужденных колебаний широко применяется в технике и называется динамическим демпфированием. ^
11. Несинусоидальные колебания. В плоский конденсатор с размерами обкладок /хХ/2 и расстоянием между ннми^
372
VIII.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
(l^d, /2>d) полностью вставлена диэлектрическая пластина массы т с проницаемостью е, как раз заполняющая весь объем между обкладками. На конденсаторе поддерживается постоянное напряжение II. Диэлектрическая пластина выдвигается вдоль стороны длиной 1г на расстояние х0 и отпускается. Пренебрегая трением, найти зависимость смещения пластины от времени x(t).
Д Чтобы выяснить, по какому закону будет происходить движение пластины, прежде всего необходимо найти выражение для силы, действующей на нее со стороны электрического поля плоского конденсатора, соединенного с источником постоянного напряжения II. Пусть пластина диэлектрика выдвинута на расстояние х за пределы конденсатора (рис. 11.1) и находится в равновесии под действием
Рис. 11.1. К нахождению силы Рдл, втягивающей диэлектрическую пластину при неизменном напряжении U между обкладками конденсатора
силы FM, действующей со стороны электрического поля, и равной ей по модулю внешней силы F. Допустим, что диэлектрик вдвинулся в пространство между обкладками на величину Ал:. Из закона сохранения энергии следует, что совершенная при этом источником напряжения работа Лист равна сумме изменения энергии конденсатора Д№к и механической работы, совершенной силой Faii над внешними телами:
AtCT = AW«+FB1IAx. (1)
Если заряд конденсатора изменился при этом на величину Aq, то изменение энергии конденсатора
AWK = Up. (2)
Источник напряжения при этом совершил работу
AHCT = UAq. (3)
Подставляя АЦ7К и ЛиСТ из (2) и (3) в уравнение (1), получаем
Fe3 Ах = У±>. (4)
11. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
373
Это соотношение позволяет найти силу F31l, действующую на диэлектрическую пластину со стороны электрического поля конденсатора. Изменение заряда конденсатора Ад при вдвигании пластины можно записать в виде Ag=UAC.
Изменение емкости конденсатора АС при вдвигании пластины на Ах можно найти, если рассматривать конденсатор с частично вдвинутой пластиной как два соединенных параллельно конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком, а другой — пет. Тогда простой расчет приводит к результату
АС — eo(e-p/2Af__ ^
Подставляя изменение заряда Ад в уравнение (4), находим, что
с __ ео (е~ 1) It U2 ,pi
гэл— d 2 ' W
Таким образом, если между обкладками конденсатора под-
держивается постоянное напряжение, то действующая на диэлектрик сила не зависит от длины выступающей из конденсатора части. Эта сила втягивает диэлектрик в пространство между обкладками.
Теперь легко сообразить, что выдвинутая пластина будет под действием постоянной силы FaJl двигаться равноускоренно с ускорением a=F3Jtn, пока не достигнет положения равновесия. После того как пластина проскочит по инерции положение равновесия и выдвинется из конденсатора с другой стороны, направление ускорения изменится на противоположное, так как изменится направление втягивающей силы. В результате пластина будет совершать колебания, которые, однако, не будут гармоническими. График смещения в зависимости от времени x(t) состоит из отрезков парабол’(рис. 11.2). Так, например, в течение первой четверти периода таких колебаний, т. е. при О<»<774,
