Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Изменение параметров с переходом через поверхность А^ф приводит к изменению типа неподвижной точки и (ф =/= Ф 2я/3, я/4) сопровождается слиянием с ней или рождением из нее инвариантной одномерной замкнутой кривой.
250 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
Эти бифуркации очень похожи на бифуркации состояния равновесия на границе N®, которые сопровождаются появлением или исчезновением периодического движения, однако имеют некоторые особенности. Эти особенности проявляются в исключительности значений ф, равных 2л/3
Рис. 7.11
it л/2, а также в том, что отображение Т на этой инвариантной замкнутой кривой может отличаться от отображения, возникающего на периодическом движении. Суть этого различия можно понять из приводимого в дальнейшем описания точечного отображения окружности в окружность. S
Особый интерес представляет бифуркация устойчивой неподвижной точки. Ее схема имеет один из видов
Qn, о Qn-г, 2 _j_ р», 1
§ 1] РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 251
Б нервом случае устойчивая неподвижная точка Оп¦0 и ее область притяжения переходят в устойчивую замкнутую кривую Г'1’1 и ее область притяжения. Сама исходная неподвижная точка при этом становится седловой. Во втором случаеседловаяинвариантная кривая Г"-1-2, сливаясь с устойчивой неподвижной точкой Оп<°, передает ей свою седловую неустойчивость и исчезает.
Особые случаи ф — 2л/3 и ср = я/2 позволим оставить без внимания. Их описание имеется в работах 17, 12].
Применим теперь полученные сведения к первоначальной задаче исследования бифуркаций периодических движений. Для этого достаточно иметь в виду, что неподвижной точке Ov'q соответствует периодическое движение
Рис. 7.13
Гр+1, ij+1, а замкнутой инвариантной одномерной кривой Гр+1.9 — инвариантная двумерная тороидальная поверхность ГР+2’ 9+1. Поэтому, в частности, первая из бифуркаций (7.33) интерпретируется как мягкий переход устойчивого периодического движения в сложные устойчивые многопериодические колебания, соответствующие движениям фазовой точки по двумерному тору Тп>2 (рис. 7.13).
На этом закончим описание бифуркаций периодических движений, которые могут быть изучены с помощью прямого сведения к изучению точечного отображения секущей. В добавление к сказанному отметим, что для всех описанных выше бифуркаций имеются аналитические условия их осуществления. С ними можно ознакомиться по работам [1, 5, 37, 12].
Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых
252 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ТЛ. 7
нарушается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности; замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность *). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Д',„. Второй случай новый, хотя оп тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. Перейдем к рассмотрению второго случая. В этом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа Op’q. Так как фазовая кривая Г выходит из Op’q, то она лежит на инвариантном многообразии Sq, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию Sp. Отсюда следует, что многообразия Sp и Sq пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей Sp и Sq не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должно исчезнуть. Это означает, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на единицу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу: когда фазовая кривая, идущая из простого седлового движения в него же, может превратиться в периодическое движение?
Исследование этого вопроса также может быть сведе-
*) В том, что этими случаями исчерпываются все возможное™, можно убедить путем следующего рассуждения. Пусть не имеет место ни один из них, тогда при буфуркационном значении параметра кривая Г — не точка, расположена в органиченной области, в ее достатно малой окрестности нет особых точек и поэтому для нее существует секущая S и точечное отображение Т не только при бифуркационном значении парметра, но и в его малой окрестности. Чего не должно быть.
