Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 79

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 125 >> Следующая


Выше были выяснены структуры окрестностей особых точек и замкнутых фазовых кривых. Выявилась особая роль устойчивых особой точки и замкнутой фазовой кривой, как установившихся движений — устойчивого состояния равновесия и устойчивого периодического движения. Следующий шаг состоит в изучении зависимости особых точек и периодических движений от параметров, в изучении того, как происходит переход от одного типа особой точки или периодического движения к другому,
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

241

как они возникают и исчезают. Эти изменения и переходы при непрерывном и монотонном изменении параметра происходят не постепенно, а скачками при прохождении через отдельные значения параметра. Эти скачкообразные изменения называются бифуркациями, а значения параметра, при которых они происходят,— бифуркационными. Для изучения бифуркаций и множества бифуркационных значений параметров целесообразно ввести в рассмотрение пространство параметров динамической системы. В простейшем случае пространство параметров — это одномерная прямая с некоторым множеством бифуркационных точек. Интервалы, лежащие между бифуркационными точками, соответствуют неизменности типа состояния равновесия или периодического движения. В более общем случае это многомерное пространство параметров разбито на области некоторым множеством бифуркационных поверхностей, размерности па единицу меньшей, чем размерность пространства. Каждой точке этого пространства параметров соответствует конкретная динамическая система. Некоторые из областей, на которые разбивается пространство параметров бифуркационными поверхностями, соответствуют наличию у динамической системы устойчивых состояний равновесия или периодических движений. На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более общей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Значимость теории бифуркации состоит и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, не зависящей ни от каких параметров. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций.

Перейдем к рассмотрению бифуркаций состояний равновесия и периодических движений. Пусть правая часть уравнения (7.1) гладко зависит от параметров Состояние равновесия является корнем уравнения

/ (х* (ц), |л) = О,

(7.13)
242

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 7

а его тип определяется корнями характеристического уравнения

X (К |х) = 0. (7.14)

При непрерывном изменении параметров fx возможно исчезновение корня х* (fx) уравнения (7.13) лишь в случае обращения в нуль его якобиана. Как видно из (7.5), этот якобиан совпадает с значением характеристического полинома при % = 0. В силу этого граница области существования состояния равновесия составлена из точек, удовлетворяющих уравнению

г (0, 11) = 0. (7.15)

Изменение типа состояния равновесия при непрерывном изменении параметров происходит при изменении чисел корней характеристического уравнения, находящихся справа и слева от мнимой оси комплексной плоскости Я, т. е. при обращении действительной части одного из ого корней в нуль. Поэтому любая точка границы области устойчивости состояний равновесия данного типа удовлетворяет уравнению

X (ia, fx) = 0 (7.16)

при каком-нибудь действительном значении со. Разделяя действительную и мнимую части, запишем уравнение (7.16) в виде

%1 (со, |i) = 0, %2 (©, |1) = о. (7.17)

Эти уравнения в общем случае определяют некоторую поверхность с параметрическими уравнениями (7.17), где со изменяется от —оо до -|-оо, и особую поверхность iV0, точки которой удовлетворяют уравнению

XI (0, |1) = о. (7.18)

Точки поверхности N<a соответствуют наличию двух чисто мнимых сопряженных корней точки N0 — одного

нулевого. Поверхность нулевых корней N0 совпадает с поверхностью (7.15), определяющей границу области существования особой точки х* (fx). Внутри каждой области, ограничиваемой поверхностями N<о и N0, состояние равновесия зависит от параметров (д. непрерывно и имеет один и тот же тип, определяемый числами р и q.

Опишем теперь, что происходит с состоянием равновесия Op’q (jx) при непрерывном изменении параметра jx с переходом через поверхность N0 или yV®.
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

243

В первом случае, как оказывается, происходит исчезновение состояния равновесия Op-q (ц.). Это исчезновение происходит благодаря слиянию его с другим состоянием равновесия типа Ор+1<^1 или типа 0p-i-g+i. В момент слияния возникает сложное состояние равновесия, которое
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed