Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
10.3. Гамильтонов формализм стационарной и нестационарной задач для 355
уравнения КдФ
10.4. Функция Ахиезера и ее приложения 357
Литература 362
11. Гамильтонова интерпретация метода обратного преобразования 363
рассеяния. Л. Д. Фаддеев. Перевод И. М. Кричевера
11.1. Гамильтонова формулировка 363
11.2. Полная "Интегрируемость нелинейного уравнения Шрёдингера 367
11.3. Приложения к задаче квантования 375
Литература 379
12. Квантовые солитоны в статистической физике. А. Лютер. Перевод 380
С. В. Манакова. С. В. Чудова
12.1. Предварительные замечания 380
12.2. Квантование и квантовые солитоны 382
12.3. Уравнения непрерывного поля 386
12.4. Спектр собственных значении 396
Литература 398
Дальнейшие заметки о Джоне Скотте Расселле и ранней истории его 400
уединенной волны. Перевод С. В. Чудова Опубликованные научные работы
Расселла 403
Это самое прекрасное и необычайное явление; день, когда я впервые увидел
его, был лучшим днем моей жизни. Никому никогда не посчастливилось
наблюдать его раньше, или, во всяком случае, понять, что оно значит.
Теперь оно известно как уединенная волна трансляции. Никто прежде и
вообразить не мог, что уединенная волна возможна. Когда я описал ее сэру
Джону Гершелю, он сказал: "Это просто вырезанная половина обычной волны".
Но это не так, поскольку обычные волны идут отчасти выше, а отчасти ниже
поверхности водЫ; кроме того, ее форма совсем иная. Это не половина
волны, а, несомненно, вся волна целиком, с тем отличием, что волна как
целое не находится попеременно то ниже, то выше поверхности, а всегда
выше ее. Этого вполне достаточно, чтобы такой холм воды не стоял на
месте, а двигался.
Джон Скотт Расселл
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вплоть до начала минувшего десятилетия число точно решаемых физически
важных задач было очень невелико. Классический или квантовый осциллятор,
линеаризованная многочастичная задача, квантованный атом водорода,
ньютоново решение задачи об орбитах планет, решение Онзагером двумерной
задачи Изинга - это перечисление является почти исчерпывающим. Ныне
ситуация стала совершенно иной. Имеется множество точно решаемых
нелинейных систем, важных с точки зрения физики, причем их число
постоянно возрастает. Среди недавних примеров - ограниченное решение
эйнштейновских уравнений теории поля (см. [1.207] - [1.209]), точное, по-
видимому, решение квантованного уравнения sine-Gordon (СГ-урав-нение)
ихх-= sin и, которое можно связать с моделями Изинга1), и решение
уравнений движения свободного твердого тела в g измерениях2).
В настоящей книге рассматриваются подобные задачи, но ее главной темой
являются солитоны. Эти математические объекты суть точные аналитические
решения нелинейных волновых или эволюционных уравнений, вроде СГ-
уравнения или уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) ш + 6иих + иххх = 0.
Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой в 1967 г. того факта, что
для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши, и
сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы
применимы также к СГ-уравнению и другим нелинейным уравнениям, вызвали
революцию в нелинейной физике, изменившую наши взгляды и подход ко многим
нелинейным задачам. Нет никаких признаков, что эта революция идет на
убыль, а то, что ею уже достигнуто, имеет, по-видимому, непреходящую
ценность.
•) См. гл. 12. В [12.17] показано, что это решение действительно точное
2) Это решение указано в [1.187] и описано в [1.119].
6
Предисловие
Для непосвященного читателя стоит упомянуть, что, например, приложения
СГ-уравнения сейчас охватывают столь различные области, как дислокации в
кристаллах, джозефсонов-ские контакты, спиновые возбуждения в жидком 3Не
ниже 2.6 мК (см. гл. 3), наносекундные и более короткие резонансные
оптические импульсы (см. гл. 1 и 2), волны зарядовой плотности в
одномерных органических проводниках вроде TTF - TCNQ ') и модели теории
поля2). Впервые уравнение КдФ появилось еще в 1895 г. в теории
гравитационных волн на мелкой воде, но теперь оно встречается в теории
решеток, физике плазмы и магнитогидродинамике. Перечень физических
приложений этих и связанных с ними нелинейных уравнений в настоящее время
чрезвычайно обширен (см., например, [1.22], [1.23]), и вряд ли можно
сомневаться в их физической значимости.
Настоящая книга, посвященная солитонам, была задумана в 1975 г., когда д-
р X. Лоч из издательства Шпрингер высказал убеждение, что сборник статей,
освещающих состояние дел в этой возбуждающей интерес области прикладной
математики, был бы весьма полезным вкладом в выпускаемую издательством
серию "Вопросы современной физики". Это убеждение основывалось отчасти на
несомненных возможностях приложений теории солитонов во все новых
физических областях, а отчасти на уже ставшей очевидной потребности во
всестороннем описании математических методов, необходимых каждому
работающему в этой области. В то время (1975 г.) число исследовательских
групп, активно разрабатывающих теорию солитонов, было, как мы тогда
