Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
OM и ON дает соотношения
подстановка которых в уравнение гиперсферы (59) позволяет найти хп в виде
где
V2 = — и12 — . . .
Vkt + (vk+1)2+... + (Vn-1)2. (66) Из (61) поэтому следует
r =-T=W • (67)
УЩ
В формулах (65) и (67) корень может иметь оба знака, которым соответствуют точки M (х1,..., хп) и Mt (—Xі,...,—хп). Дифференцируя (65) и (67) и подставляя полученные 70
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
выражения в (60), находим метрику гиперсферы Sn^1 в координатах Vа:
<&=—,--, , (68)
где dv2 и v dv выражаются через Uat и di/* по формулам, аналогичным (62) и (64).
3. Наиболее компактное выражение метрики на Sn^1 получается, когда за координаты точки M на гиперсфере принимаются координаты иа (а = 1, 2, . . ., п — 1) точки L (и1, . . ., и11-1, 0) ее стереографической проекции из точки P (я1, . . ., Zn""1, р) на экваториальную гиперплоскость Rn_x. Проекции не существует при условии хп = р , которое определяет изотропный гиперконус в гиперплоскости, проходящей через точку P ортогонально оси xn.
В силу коллинеарности векторов PM и PL
X^ = Sn--P Ua — P '
и поэтому из уравнения гиперсферы (59) следует
*п = р(1_г^)' (69)
где, как обычно,
U2 = - Ii12 - ... - Uk2 + (и*+1)2+ ... + (О2- (70)
Связь вектора и с г и v дается формулами
2и 2и tnA v
г =-5, V =-2. (71)
14-u! і -Vl
P2 P2
Дифференцирование выражений хп и г с последующей подстановкой в (60) после упрощений приводит к результату
A1=TjfSxi- (72)
7i+«!V НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
71
В силу (70) du2 выражается через du* по формуле, аналогичной (62).
Стереографическая проекция во многих отношениях является наиболее удобной координатной системой на Sn-В случае собственно евклидовой геометрии на Rn^1 величина ад2>0и область изменения Uct — вся гиперплоскость причем на Sn^1 получаются все точки, кроме вершины P. В случае псевдоевклидовой геометрии на Rn^i область изменения координат ил несвязная и представляет собой гиперплоскость R1lmml с вырезанной из нее поверхностью и2 +р2 = 0 (офера радиуса Y—1 р). Этой области соответствуют все точки гиперсферы S1lmml, кроме изотропного гиперконуса с вершиной в точке Р.
Так как du2 является метрической формой гиперплоскости то как видно из (72), метрики в Sn^1 и отличаются друг от друга лишь множителем, зависящим от точки. Такое взаимно однозначное соответствие между пространствами называется конформным. Таким образом, неевклидовы пространства Sn^1 конформны евклидову пространству Rn_x. Не менее важно еще одно свойство этих пространств. Вращение Rn около начала координат означает преобразование Sn^1 в себя. Это преобразование зависит от (п — 1) п!2 параметров. Преобразование Rn-1 в себя также зависит от (п — 1) п/2 параметров. Поэтому пространства Sn^1 обладают той же максимальной степенью однородности и изотропности, что и евклидово пространство Rrtmml.
До сих пор р считалось вещественной величиной. Чтобы включить случай чисто мнимого р, надо умножить метрические формы в Rn и Sn^1 на —1 и индекс к заменить на п — к. Всего будет 2п вариантов (п — 1)-мерной неевклидовой геометрии: для гиперсферы вещественного радиуса р при значениях к ==0,1, . . п — 1 и для гиперсферы мнимого радиуса ]/ —1 р при значениях п — к = = п, п — 1, . . 1.
Наиболее интересны неевклидовы пространства с собственно римановой метрикой. Их будет два — при значениях /с = 0 и к = п — 1 (в последнем случае надо еще умножить метрические формы на —1).
Случай к = 0. В этом случае Rn является собственно евклидовым пространством, а метрика Sn^1 согласно (72) 72
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
имеет вид
ds2 = 4
duI2 + . . . + (dun~lv
и?+... + (Un-Iy Р!
Пространство Sri^1 с такой метрической формой носит название сферического пространства Римаиа (при п = 3 это обычная сферическая поверхность в трехмерном пространстве). С ним тесно связано эллиптическое пространство Римана, получаемое при отождествлении двух диаметрально противоположных точек на Sn^1. Областью изменения координат Ucl будет тогда не вся гиперплоскость Rn^1, а шар W2^p2, причем в этом шаре нужно отождествить диаметрально противоположные точки его границы. Это означает, что рассматривается нижняя половина гиперсферы Sn-^ срезанная плоскостью Rn-U а на срезе отождествляются диаметрально противоположные точки.
Случай к = п — 1. В этом случае после изменения знака метрических форм имеем во вмещающем пространстве Rn
Пространство Sn^1 с такой метрикой называется пространством Лобачевского. Как видно из предыдущего, оно реализуется на гиперсфере радиуса ]/ —1 р в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 (при п = 3 метрика (74) определяет геометрию двуполостного гиперболоида в обычном трехмерном пространстве). При этом внутренность шара іг2<^ра отображается на нижнюю полость Sn^1 (хп отрицательно), а внешняя часть шара — на верхнюю полость.
И пространство Римана, и пространство Лобачевского играют исключительно важную роль в космологических задачах.
Xt = Xlt+...+ (Xn'1)2 -
>2
