Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брумберг В.А. -> "Релятивистская небесная механика" -> 34

Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.

Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика — М.: Наука, 1972. — 382 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativitskayanebesmeh1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 >


В локально инерциальной системе тензор масс имеет то же истолкование, что и в специальной теории относительности. В координатах, близких к галилеевым, Ta? тоже имеет приблизительно тот же смысл. Этот тензор описывает суммарное распределение и изменение всей энергии и импульса, кроме энергии и импульса гравитационного происхождения. В специальной теории относительности уравнения сохранения энергии и импульса имеют вид

^ = ° №

в аффинных (галилеевых) координатах и

V?r«? = 0 (7)

в произвольных координатах. В общей теории относительности естественно считать, что Тл& тоже удовлетворяет уравнениям (7), но отсюда уже не будет следовать закон сохранения, так как ни в каких координатах нельзя переписать (7) в виде (6). Это и понятно, потому что Ta^ не учитывает энергию и импульс гравитационного происхождения и для получения закона сохранения надо добавить к нетензорную величину. Эта величина

отражает наличие энергии и импульса у гравитационного поля, однако в различных координатных системах она имеет разный вид и этим объясняется ее название — псевдоэнергия гравитационного поля.

Согласно основной идее общей теории относительности свойства пространства и времени, т. е. метрика пространства событий, определяются движением и распределением масс, а движение и распределение масс в свою очередь определяются метрикой поля. Выражением этой взаимосвязи являются уравнения поля — уравнения для нахождения тензора ga?. Число существенно различных компонент этого тензора равно десяти, следовательно, надо иметь 10 уравнений поля. Эйнштейн установил их вид, опираясь на следующие соображения:

1. Согласно закону Галилея гравитационная масса равна инертной, т. е. пропорциональна энергии. Но § 1] ПРИНЦИПЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 123

энергия — одна из компонент тензора масс. Можно считать, что в уравнения поля не должны входить никакие другие переменные, описывающие состояния масс, кроме тензора масс.

2. Уравнения поля должны быть общековариантными.

3. По аналогии с уравнением Пуассона, определяющим потенциал ньютонова поля тяготения, можно полагать, что уравнения должны быть второго порядка.

Из этих положений вытекает следующая форма уравнений поля:

Ha? + kRg*t + Л*«* = - хГр, (8)

где к, A, X — некоторые постоянные. Путем опускания индексов эти уравнения, естественно, можно переписать и в ковариантных составляющих. От вторых производных от ga? уравнения (8) зависят линейно.

4. Если известно какое-либо решение общековариант-ных уравнений поля, то переходом к другим координатам можно получить бесчисленное множество решений, равноправных по своей физической сущности. Значит, общее решение уравнений поля должно содержать четыре произвольные функции, т. е. уравнения поля должны удовлетворять четырем тождествам. Но правые части удовлетворяют тождествам (7). Разумеется, и левые части должны удовлетворять этим тождествам. В силу тождеств Бианки (формула (ИЗ) гл. 2)

Va?^Vp0. + Vjx-Rvap0. + Vvi?ajxp. = О и свертывая по |i иа, находим

Va/?vp — VytRap + Vvl/?;;^ = 0. После умножения на gvp это соотношение дает

Va/? - ^pVvflap - ^%«a? = 0

ИЛИ

Va/? = 2V?Rt

Поэтому результат ковариантного дифференцирования по левой части (8) будет

V?(Aa0 + кRg^ + Ag**) = (2к + 1) V?Aa?, 124

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ

[ГЛ. 4

т. е. для выполнения тождеств (7) должно быть к = —1/2. Окончательно уравнения поля общей теории относительности записываются поэтому в виде

Да? - \ Rg^ + Ag^ = - %Tx?. (9)

Здесь х — постоянная, определяемая ниже путем предельного перехода к случаю ньютонова поля, Л — космологическая постоянная, называемая так потому, что член AgxP вследствие малости Л играет роль лишь при рассмотрении космологических вопросов. Во всех остальных вопросах общей теории относительности рассматриваются уравнения поля без космологического члена

Д«{> __ -L Rga? = _ ХГa?. (Ю)

После свертывания с ga? отсюда следует

R = хГ, (И)

где

T = goi?r?. (12)

Поэтому уравнения (10) могут быть переписаны в виде

Ra? = - X ( Tx? - 4- Tg^ . (13)

В области пространства вне масс тензор Ta^ обращается в нуль и уравнения поля для пустого пространства сводятся просто к равенству нулю тензора Риччи

R«? = 0. (14)

Левые части уравнений поля удовлетворяют четырем тождествам Бианки

V? (?a0--Y Rga^j = 0, (15)

и для правых частей автоматически вытекают соотношения (7).

Уравнения поля — это 10 нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа. Они определяют 10 неизвестных
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 >

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed