Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
dxx dx° /ОЛЧ
^ІЇЛ = 6' (89)
где С — постоянная величина. За канонический параметр X можно принять либо S (в случае вещественной геодезической), либо о = s/Y—1 (в случае геодезической чисто мнимой длины). В первом случае С = 1, во втором С = — 1. Для неизотропной геодезической соотношение (89) является первым интегралом уравнений (75). Для изотропной геодезической С = 0 и соотношение (89), определяющее канонический параметр, нужно рассматривать совместно с уравнениями (75). При этом важцо отметить, что в силу 80
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
(89) геодезическая, проведенная через данную точку в изотропном направлении, будет и всюду изотропной. Укажем еще, что изотропная геодезическая, отнесенная к произвольному (не каноническому) параметру t — t (?,), будет определяться согласно (75) и (89) уравнениями:
dH
(Рх* гк dx1 dx? __ dtf dxk
dt* * V dt Tt ^ "" TdtyU , (90)
{dl)
dxi dx? л /ГіЛ ч
Si} 4t It=0- (91)
Чрезвычайно важное свойство геодезической линии в V11 состоит в том, что ее уравнения могут быть получены из вариационного принципа. Предварительно напомним, что согласно теореме вариационного исчисления для выполнения условия стационарности интеграла
S J /(*, Уи • • -і Уп> yv -. м yn)dx = 0 (92)
необходимо и достаточно, чтобы функции у і — Уі (х) удовлетворяли системе обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнениям Эйлера — Лагранжа)
r*&-W = 0 С = 1.2.-.»)- (93>
Таким образом, если уравнения какой-либо физической задачи могут быть выведены из вариационного принципа (92), то / является функцией Лагранжа для этих уравнений. В частности, если / не зависит от одной из переменных Уі, т. е. df/dyi = 0, то существует первый интеграл
Д- = const. (94)
дъ
Если / не зависит явно от независимого переменного х, Т. е. dfldx = 0, то также существует первый интеграл
п
/ — S УЇ — const, (95)
du. АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ
81
Покажем теперь, что уравнения неизотропной геодезической вытекают из вариационного принципа
O Jds = O. (96)
Положим в соответствии с (47)
ds = VJdK (97)
где X — параметр вдоль геодезической, а
f-^Ґжж- (°8)
Уравнения (93), соответствующие вариационному принципу (96), будут
ль VT ^r = 0. (99)
dXd— дх% dl
Так как
д VJ __ 1 dxk dxl dg kl д VT _ 1 dx*
дхі ~~ 2 VT dX dl dxl ' ddj_ ~ VT gij 1
dl
то эти уравнения сводятся к следующим:
d'xk dgik dxk dxl j d iu / dxk j dgkldxkdxl _ ft d№ + dxl dl dl 2 dl gM dl 2 dxi dl dl ~ U'
откуда после выражения производных от метрического тензора по формуле (51) и свертывания с g'l> окончательно получаем
d*xk ук dxK dx> _ 1 d In / dxk Mm
Uki + ij dl dl ~~ 2 dl dl '
Если X — канонический параметр, то согласно (89) / = const, правые части уравнений (100) обращаются в нуль и эти уравнения становятся тождественными с каноническими уравнениями геодезической в форме (75). Уравнения (100) обобщают уравнения (75) на случай произвольного параметра X. В процессе вывода этих 82
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. iI
уравнений из (96) использовалось условие / =f= 0. Поэтому вариационный принцип в форме (96) неприменим для изотропной геодезической. Этот принцип особенно удобно использовать, если за независимую переменную 1K желательно взять одну из переменных Xі. Тогда функцию Лагранжа Yf целесообразно с самого начала отнести к этой новой независимой переменной. Заметим, что если уравнения (99) умножить на dk, то X вообще не будет фигурировать в уравнениях, за независимую переменную надо будет взять одну из переменных Xі, и тогда для определения неизотропной геодезической линии получим п—1 уравнений второго порядка. Это является отражением того факта, что неизотропная геодезическая в Vn зависит от 2п — 2 параметров.
Принцип (96) дает функцию Лагранжа Yf в иррациональной форме. Однако вариационный принцип можно дать в рациональной форме в виде
в S(S)tA-O. (101)
Но тогда в него войдет лишняя переменная — параметр К. Действительно, в выражении (101) параметр X входит явно в формулировку принципа. Вариационный принцип в форме (101) применим и для изотропной геодезической. Функцией Лагранжа, соответствующей (101), служит величина / и уравнения (93) в данном случае имеют вид
Так как
df_ = ^gkIdxk dx1 df _ 2 dxi_
дх* ~~ дхх dl dl 1 (dxi \ ~~ dl '
дЫ1
то уравнения (102) дают
dHk ^Jikdx^dx^ __ Jl dJki_dx^d^_ _ n
Zik d№ + дхі dl dl 2 dxi dl dl ~~ U'
откуда после замены (51) и свертывания с gi получаем
d*xk . „fc dx* dx> АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ
84
Из сопоставления с (75) ясно, что в формулировке принципа (101) X должно быть каноническим параметром. Так как функция Лагранжа / этого принципа не зависит явно от X1 то существует интеграл (95), сводящийся в силу однородности / к выражению / = const, т. е. к (89). Система (103) состоит из п уравнений второго порядка и в числе 2п произвольных постоянных две постоянные — лишние, связанные с введением параметра X. Для изотропных геодезических условие / = 0 должно быть присоединено как независимое к уравнениям (ЮЗ) или к вариационному принципу (101).
