Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а из (72) получаем
duI2 + ... + (da*1-1)»
(74) § 7] ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
73
§ 7. Пространства аффинной связности и абсолютное дифференцирование
Если риманово пространство Vn, обобщающее евклидово пространство Rn, получается заданием в элементарном многообразии Шп метрического тензора gц (M), то пространство аффиниой связности Ln, представляющее собой обобщение аффинного пространства An, получается путем внесения в 9)?,г объекта связности T1Ij (M), преобразующегося при замене координат (38) по закону (45). В частном случае, когда объект связности симметричен по
JU J^
своим нижним индексам и поэтому величина Sij = Tij- — — Tki, называемая тензором кручения, обращается в нуль, соответствующее пространство Ln называется пространством аффинной связности без кручения.
Благодаря введению объекта связности в Ln становится возможным определить операцию параллельного переноса векторов, совпадающую с формальной стороны с соответствующей операцией в An в криволинейных координатах. Именно, если вдоль некоторой кривой Xх = Xі (t) задано векторное поле ?fe = ?fc (t), то параллельный перенос вектора определяется как такой, при котором координаты вектора при бесконечно малом смещении по кривой меняются по закону (44). В силу закона преобразования объекта связности Tkj эта формула сохраняет свой вид и при переходе к новым координатам. Однако в Ln, в отличие от An, параллельный перенос, вообще говоря, зависит от пути.
Кривая в L11 называется геодезической, если всякий вектор, касательный к ней в какой-либо точке, остается касательным при параллельном переносе вдоль нее (обобщение свойства постоянства направления прямых линий в An). Из этого определения на основе формулы (44) легко найти дифференциальные уравнения геодезической линии. Действительно, пусть Ilt = Ik (t) — параллельно переносимый касательный вектор вдоль кривой хг = хг (?). В силу коллинеарности касательных векторов должно быть
где a (t) — отличный от нуля скалярный множитель, зависящий от точки кривой, Вместо параметра t вводится 74
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
параметр X такой, что
dX = а (t) dt.
Уравнение кривой тогда станет хг = Xі (?,), a dxk/dX = = будет параллельно переносимым касательным вектором. Такой параметр X, определенный с точностью до линейного преобразования, называется каноническим. На основании (44) условие параллельного переноса вектора dxk/dX запишется в виде
d — - - Г* — dxi а dX - dt"*'
откуда и следуют дифференциальные уравнения геодезической линии, отнесенные к каноническому параметру X:
d2xk -pfc dxl dx* п /Г7с:ч
+ (75)
В силу теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений через каждую точку по каждому направлению в Ln проходит одна и только одна геодезическая.
Как уже указывалось, частным случаем пространств аффинной связности являются аффинные пространства, где можно ввести такие координаты (аффинные), что во всей рассматриваемой области коэффициенты связности Tij обращаются в нуль. В Ln, т. е. в пространствах аффинной связности без кручения, можно добиться исчезновения лишь в одной данной точке M. Координаты, удовлетворяющие этому условию, называются геодезическими. Все операции в этих координатах значительно упрощаются, а окончательные результаты, записанные в тензорной форме, остаются справедливыми в любых координатах. Сам переход от произвольных координат хг, в которых Tij(M) =/= =f= 0, к координатам Xі', геодезическим в точке M, осуществляется достаточно просто. В самом деле, переписывая Эакон (45) преобразования объектов связности в виде
Yk- дчк' дх* _1_ ^L ^L дх* Vk'
iJ ~ 0xW дхг ?x{ дх> дх* § 7] ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
75
применяя это выражение к геодезическим координатам и умножая на дх1'/дхк, получаем систему уравнений, определяющих геодезические координаты Xі' в функции от старых координат Xі:
^ (M) = ^ (M) |>). (76)
Этим уравнениям можно удовлетворить, полагая, например,
х'- = а'' (*» - *<,) + і. 4Гу (M) (Xі - xL) (Xі - х;м), (77)
где Il af Il — неособенная числовая матрица, а хгм — координаты точки М.
Перейдем далее к наиболее важному понятию тензорного анализа — операции абсолютного дифференцирования. По своему геометрическому смыслу она самым тесным образом связана с операцией параллельного переноса. Пусть в Ln проведена кривая хг = хг (t) и в некоторой
ее точке задан тензор (?). В бесконечно близкой точ-
ке значение этого тензора будет aj*.'.'^fc (t + dt). Но эти тензоры отнесены к разным локальным реперам и непосредственно сравнивать их между собой нельзя. Приближенно
<:Х ^+Л> - w « daH w. (78)
но стоящая справа величина не является тензором. Пусть тензор аСх'"л\1 (t) представляет собой результат параллельного переноса тензора а\[ [][11к (t-{-dt) в точку t. Тогда главная линейная часть разности
(79)
и будет абсолютным дифференциалом, представляющим собой тензор того же строения, что и исходный.
Для векторов операция параллельного переноса была определена выше, и поэтому абсолютный дифференциал 76
