Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брумберг В.А. -> "Релятивистская небесная механика" -> 26

Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.

Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика — М.: Наука, 1972. — 382 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativitskayanebesmeh1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 34 >> Следующая


соответствующий единичной площади, называется единичным.

Единичные векторы Tii, фигурирующие в (124), можно за счет выбора координат и1, и2 привести к выражениям

дх" і дх* ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ

91

Соответствующий единичный бивектор перепишется в форме

^ = -I-GV-SV). (126)

и в силу кососимметричности RkHj по і и / выражение (124) окончательно преобразуется к виду

у ^ RklijXklXijо. (127)

Предел

К = Iim ± = RkiijXklXij (128)

О-+0 0

называется римановой кривизной в данной точке в данном двумерном направлении. В формуле (128) Xі* — единичный бивектор. Обобщение на случай произвольного, не единичного бивектора у1* достигается без труда. Очевидно, что

rij _ у7

X — —,

где S — площадь, соответствующая бивектору yij. Пусть теперь Tji, определяемые по (125),— произвольные направляющие векторы касательной плоскости. Бивектор уи будет по-прежнему определяться формулой (126), но с новым смыслом г]1. Для квадрата площади параллелограмма, построенного на этих векторах, имеем

^ = G11G22-(G14)2

или после подстановки значений (57)

S2 = (gikgjl - giigjb) SiIfcVr1'. (129)

Поэтому окончательно риманова кривизна в данной точке в данном двумерном направлении, характеризуемом произвольными векторами т)г, представится в виде

К = WW_

(SikSil-SilSjkHxI Vrj'

Из анализа (130) можно установить, что тензор кривизны пространства с постоянной кривизной К (не зависящей 92

ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ

[ГЛ. iI

ни от точки, ни от направления) имеет строение

Rkia = к (gikgii - giigik)- (131)

Для тензора Риччи и скалярной кривизны такого пространства отсюда в силу соотношения gxj gv = 6) = п имеем

Rij = — (л — 1) Kgih R = —п(п — 1) К. (132)

Примером пространств постоянной кривизны могут служить однородные и изотропные гиперсферы Sn^ в Rn. Найдем, в частности, значение К для пространств Римана и Лобачевского. Как видно из (73), для пространства Римана

g - 46Q-

Bl3 I tl2\ 2' и поэтому в начале координат

*.4 = 4o-V ^j = -oij dlg'lj - 166iJ'6/c/ Г* -О gii — g — 4 о , дхкдх1 - io р2 , Ilj-и,

откуда по (117)

Ra = 1)0«

и сравнение с (132) дает if = 1/р2.

Итак, для евклидова пространства K = О (р = сю, плоское пространство), для пространства Римана (73) К = 1/р2 (пространство с положительной постоянной кривизной), для пространства Лобачевского (74) К = —1/р2 (пространство с отрицательной постоянной кривизной).

Заканчивая на этом изложение элементов римановой геометрии и тензорного анализа, отметим, что в литературе отсутствует, к сожалению, стандартное определение тензора кривизны, что влечет за собой некоторую неоднозначность также и в дальнейших определениях. Употребляющиеся здесь обозначения, в частности определение (106), как и вообще характер изложения основной части материала этой главы, основаны на курсе П. К. Рашев-ского (1953). § 10] ПРИМЕНЕНИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

93

§ 10. Применение римановой геометрии в задачах ньютоновой механики

В заключение остановимся вкратце на возможностях применения тензорных методов и идей римановой геометрии в задачах ньютоновой механики.

Пусть кривая Xі = Xі (t) представляет собой траекторию движения некоторой материальной точки в Vn. Касательный вектор Xі = dxl!dt определяет скорость этой точки, а ее ускорение выражается абсолютной производной

Р±к _ d2xk гк dt ~ dt1 + ij dt dt 9

Уравнения движения точки естественно определить как

и±



= Л (133)

где fk = fk (t, Xі, . . ., хп) — контрвариантные компоненты вектора внешних сил. При отсутствии внешних сил, т. е. при fk = 0, движение точки будет происходить по инерции по геодезической линии. Ковариантные компоненты ускорения запишутся в виде

D±i d±i .к djtI .к.I

ТГ = Tt TtoiJt = ~dt А •

После подстановки значений (53) уравнения движения (133) примут окончательную форму

dt 2 дхі

иди

XkX1 = U

dt д±{ дхi

где

d дТ дТ 4 /4 0/Ч

--TJ = Iu (134)

T=^rgki***1. (135)

Но в ньютоновой механике уравнения движения склерономных голономных систем в обобщенных 94

ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ

[ГЛ. iI

координатах записываются как

d дТ __ дТ_ _

dt dqi Dgi ~ ^b

где Qi — обобщенные силы, а кинетическая энергия T является квадратичной формой относительно обобщенных скоростей ql:

Г = (136)

Сопоставление с предыдущими уравнениями сейчас же показывает, что движение механической системы с кинетической энергией (136) можно интерпретировать как движение точки в Vn с метрикой

ds2 = CLiJ (q\ .. ., qn) dqi dqj = 2T dt2 (137)

под действием сил ^i. Если силы обладают силовой функцией U1 то Qi = OUIdqi1 т. е. система консервативна, и возможна другая интерпретация, основанная на принципе Мопертюи. Именно, если рассмотреть пространство Vn с метрикой

ds2 = 2 (E + U) Ciij dq{ dq\ (138)

где E — постоянная интеграла живых сил

T — U = E1

то геодезические этого пространства будут определяться вариационным принципом (96)

б J Y2 (Е + U) Vaii ^qi dqi = О,

а это и есть принцип Мопертюи. Таким образом, траектории движения консервативной механической системы с фиксированным значением константы E изображаются геодезическими линиями в пространстве Vn с метрикой (138).
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 34 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed