Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Зі—Зі ii..-І/ . , n.
аи..л[ = aU...ik (*1, . . ., zn),
da
-Xdxi
(И)
(12)
носят название абсолютных производных и также пред- 50
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. iI
ставляют собой тензоры, но с одним дополнительным KO-вариантным индексом по сравнению с исходным тензором. Это вытекает из непосредственного дифференцирования соотношения (8) по Xі' при учете (7).
§ 2. Тензоры в евклидовых пространствах
Евклидово пространство п измерений (Rn) представляет собой пространство An, в котором введена операция скалярного произведения векторов. Это определяет все метрические свойства пространства, в частности, позволяет измерять длины векторов и дуг кривых.
Скалярным произведением двух векторов х и у называется билинейная скалярная функция этих векторных аргументов, обозначаемая ху и удовлетворяющая двум условиям — условию симметрии: ху=ух и условию невырожденности: для каждого вектора х =f= 0 можно найти такой вектор у, что ху =/= 0.
Векторы X и у называются ортогональными, если их скалярное произведение обращается в нуль. Поэтому условие невырожденности означает, что не существует векторов х =/= 0, ортогональных ко всем векторам пространства.
Скалярным квадратом вектора х называется число X2 = XX. Квадратный корень из этого числа дает длину вектора х:
\х\ — VX?, (13)
а расстояние между двумя любыми точками А и В простран-
—>
ства/?п определяется тогда как длина вектора AB. В комплексном Rn, построенном на базе комплексного А п (где допускаются комплексные числа), скалярные квадраты векторов являются комплексными величинами. В вещественном Rn, построенном на базе вещественного An, скалярные квадраты векторов могут принимать лишь вещественные значения. Вещественные евклидовы пространства в свою очередь подразделяются на собственно евклидовы, где все векторы, отличные от нуля, имеют строго положительные скалярные квадраты, и на псевдоевклидовы, где существуют отличные от нуля векторы трех типов — с положительными, нулевыми и отрицательными скалярными квадратами. Таким образом, в псевдоевклидовых пространствах длина ТЕНЗОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
51
ненулевого вектора может быть положительным числом, чисто мнимым или нулем. В дальнейшем будут рассматриваться лишь вещественные евклидовы пространства.
Кривая в An может быть задана аналитически в виде однопараметрической зависимости координат точек кривой Xi = XiIt), и тогда радиус-вектор текущей точки кривой будет допускать обычное разложение по векторам выбранного аффинного репера
представляет собой касательный вектор данной кривой.
В Rn становится возможным определять длину дуги кривой от точки Mi до точки Mг как
Знак квадрата дифференциала дуги ds2 = dx2 определяет, имеет ли кривая вещественную (ds2^> 0) или чисто мнимую длину (ds2<0). При ds2 = 0 кривая обладает нулевой длиной и называется изотропной. Если дуга имеет вещественную длину, то S можно принять за параметр t вдоль кривой. Тогда и = dx/ds является единичным касательным вектором. Если же дуга имеет чисто мнимую длину, то, полагая s= Y—1 а и принимая за параметр t вещественную переменную <з, придем к мнимоединичттому касательному вектору и = dx/de.
Обозначим скалярное произведение векторов некоторого аффинного репера через g
X (t) = X1 (t) ех.
Вектор
dx _ dx1
~dt — ~1ГЄі
M1
а дифференциал дуги будет
ds = I dx I = dt.
Sij — Si?j.
(14)
Легко убедиться, что при преобразовании (2) величины 52
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
Sij ведут себя как компоненты дважды ковариантного тензора. Этот тензор носит название метрического тензора и определяет всю структуру рассматриваемого пространства R n. В силу (1) скалярное произведение векторов Xi у запишется в виде
Xy = (15)
а скалярный квадрат вектора х будет выражаться квадратичной формой относительно его аффинных координат:
ж2 = ZxjXiX*. (16)
В силу условия симметрии скалярного произведения тензор gij является симметричным тензором, а в силу условия невырожденности матрица из компонент g{j должна быть неособенной. Таким образом, метрический тензор удовлетворяет условиям
Sij = Sju det Iftj 1=^0. (17)
Заметим, что так как в новой системе координат = AtvA3ySij1
то
det 1 gi'j- J = (det I А\. Ц)2 det I gi} I, (18)
т. е. определитель, составленный из компонент метрического тензора, является относительным инвариантом веса 2 (относительным инвариантом веса р называется скалярная величина, умножающаяся на (det | А\'1)р при переходе к новой системе координат).
Обозначим через gl} элементы матрицы, обратной матрице I gij J,
SiHSjk = «{. (19)
Величины gl> представляют собой компоненты дважды контрвариантного метрического тензора. При помощи Sn и ^ в Л пможно производить тензорные операции опускания и поднятия индексов. Например, умножение контрвариантных координат вектора Xі на метрический тензор и последующее свертывание по одному из индексов дает ковариантные координаты вектора
Zi = Sijrj.
(20) § ЗІ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 53
