Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
большой полуоси а. В результате эти короткопериоди-ческие возмущения имеют вид:
6 а 2 т' ' А д ft
~ — 1+ т 2л а/1«« " J / п' C0S
^ ^r Q п
л _ m' У>1 — el А д VT=Tji-S Q
р 1 4- т е " ; -— cos "qq'ss'ji
Я + Я'~
о . _ т' cosec і J S cos і — /
04p - г+^ VT==P 2J a M'88'j cos
ЯГІ m' cosec і Vi' dAgg'ss'jjdi . Q
O?p =^7=S a sinVas';,
с , .« ^ ra' Vl — CiV1 dAqq'ss'j/de . ~
p + cos t6Qp = jl^— 2» a sin
9 +
6Mp + Yi — ea (бсОр + cos ioQp) =
2 Г202 3^- Vlsin
' Ґ-7ГЦ
(54)
и штрих при сумме означает пропуск членов с q = q' = 0. Делители е и sin і в bev и Sip снова легко устраняются.
В бQp делители sin у, cos у, sin і остаются при тех же
значениях индексов, что и в бQ*. В бсор эксцентриситет е остается в знаменателе для значений q — s — + 1. В планетных задачах важную роль играют делители q + q' .
Если эти делители не малы, то соответствующие члены действительно являются короткопериодическими. В случаях же острой соизмеримости средних движений эти делители могут быть очень малыми, и тогда соответствующие члены имеют большие периоды и большие амплитуды. Пример такого рода резонансных делителей встречается в движении Юпитера и Сатурна, где отношение средних движений близко к 5/2. Но в целом такие резонансные делители в движении больших планет Солнеч- § 3] ВОЗМУЩЕНИЯ OT ТРЕТЬЕГО ТЕЛА
33
ной системы не настолько малы, чтобы нельзя было пользоваться обычными методами теории возмущений. Очень малые резонансные делители встречаются в движении малых планет, и тогда приходится прибегать к помощи сцециальных методов, рассчитанных на резонансные случаи.
При «спутниковом» методе интегрирования после нахождения вековых членов (52) в правые части уравнений (50) подставляются постоянные значения элементов а, е, і и значения ?, со, M с учетом вековых возмущений. Тогда периодические возмущения принимают вид:
6aP О^(0> А Я Q
~ ~~ і _U т * Zl aAqq'»8'j У COS ogg'sa'j»
а і -J- т V qq'S8'j
А т' У"Гу(0) л q УТЕГр — з o
0вР ^ і -U m е Zl aAqq's*'3 у coS ^qq'n'h
L -j- nv V qq'ss'j
. mf cosec і v,(o) A s cos і — / л
= т+^ YfT=Z S fliV"'' Vggtgtv 008 0<w'"'i'
AO cosec і !•
. , m' У 1-е2 v(0) адАЯ <г'ю']Іде . n б©p + cos ioQp = ^r-^ --2i V sm 0<ra'««'i.
X -p у qq'M'j
OMP + УI — e2 (ocop + Cosi бЙр) = — 1 ™ m X (0)Г2 2 dA^jlda q 1
xS L + aQ 33; (v^pjsm
(55)
где
Л \ І ьм'л n'
+ s^ + s'^L+j?-^jL)
n ^ »' я т/\д n' n J •
Скорости вековых изменений 6Qe, 6(o8, 6M8 находятся из уравнений (52). Верхний нулевой индекс при суммах (55) означает пропуск членов с нулевыми значениями всех пяти индексов. Таким образом, при этом способе интегрирования возмущения оскулирующих элементов
2 в. А. Брумберг 34 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
состоят из вековых членов (52) и периодических членов (55).
Разумеется, все вышесказанное значительно проще фактического построения теории движения того или иного небесного тела. К тому же речь здесь идет исключительно о возмущениях первого порядка относительно малых параметров.
Для иллюстрации основных планетных возмущений рассмотрим начальные члены разложения пертурбационной функции в предположении малости эксцентриситетов и наклонов. Ограничиваясь лишь членами второй степени относительно этих величин, имеем
[4 -I дсі
^cf - ^a-^-ecos M+ ± аа' (е2 + е'2 —
— sin2 і — sin2 і') 4Х)--J- aa'cf^ee' cos (я — я') +
+ аа'с81} sin і sin V cos (?2 — Q') + .. .J. (56)
Здесь в функции R оставлены главные вековые члены, не зависящие от средних долгот планет, и главный короткопериодический член С COS M. Коэффициенты Cn) являются симметричными функциями больших полуосей а, а' и определяются разложением
(а2 — 2аа' cos H + а/2)~п/2 = S c^ (*, а') cos ЛЯ,
AV _ г(-*>
^П - И» 9
^ fc=—oо
откуда
'<»•«'»-,-^nbiT ^ri № ^+м4
(max {а, а'})
где
min {а, а'}
Qt = -LJ-1
max {а, а'} ВОЗМУЩЕНИЯ OT ТРЕТЬЕГО ТЕЛА
35
Уравнения Лаграпжа с функцией R в переменных л, е, i, Q, я, е дают
da т' з М0) . Л/Г
-7г = п— па Ir- е sin М, dt 1 + т да '
jI=TT^ ^sin м - 4 sin - я'>]'
^n ^ Sinv SiniQ-Q'), dQ т' _ а2а' _<i) Г л . sin і
H
т' а2а <і) Г , , sm і' ^,Л
7-ї— п-г-сГ — 1 4- -г-т-cos(Q — Q ) , 1 + т 4 0 L 1 sm і v 7J '
dit ™* Г 1 л/г і 1 о / (і)
J—і— ^ —о— aSr- cos M —т- a Vcj; — 1 + га L 2е да 1 4 л
- -у- cos (я - я')],
dt
dz __ га' 2 дс^
dt - і + тПа
(57)
Воспользуемся этими уравнениями при рассмотрении двух частных вопросов — определении понятий большой полуоси и среднего движения в возмущенном движении и нахождении вековых возмущений. Первый вопрос решается при помощи последнего из этих уравнений и ko-роткопериодических членов в уравнениях для е и я. Действительно, если п0 и aQ — невозмущенные значения среднего движения и большой полуоси, связанные третьим законом Кеплера, то наблюденное значение среднего движения, определяемое по наблюдениям средней долготы за большой промежуток времени, будет
д <°>\
IA .*П
Значение а большой полуоси, получаемое по л в соответствии с третьим законом Кеплера, связано с а0 зависимостью
