Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
rF
S =
г '
T = [к ^ F = (— Zsin U + ш cos и) F =
/_ IfinF_T^
V P паї V1
Г H--/ г) JPr1
^ ла2 V4 — е2 '
PF= hF.
(28)
При составлении уравнений для Wl или е принимается, что в отличие от (17) и (24), средняя аномалия и сред- § 2] УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ 21
няя долгота в возмущенном движении определяются формулами
t і
M = SSt + [ndt, ^ = 8+ J ndt. (29)
и и
Это видоизменение сделано для того, чтобы избежать в правых частях уравнений для Wl и є появления членов, пропорциональных t. Вместо уравнений для Wl и є можно использовать уравнения для M и X непосредственно
dM __ <Щ dl __ dB
dt-n+-dT> ~dt-n+~dt' Для оскулирующих векторных элементов с и / имеем C=I1XjPi f = 2(rF)r — (rF) — (rr)F. (ЗО) Так как в силу (8)
/_„%.?p + „ve[(f + «*i§)Q +
. / . di . . dQ\ j I
+ Vsillcd -rfi-~C0S cosinj^)
то умножая с скалярно на Л, m, а / — на P и О, снова находим первые пять уравнений (27). Таким образом, уравнения (30) вполне эквивалентны этим пяти уравнениям.
Нередко оказывается удобным за независимую переменную в уравнениях для оскулирующих элементов принять вместо времени t аномалии V или Е. Эта замена осуществляется по формулам
dV па* Vi-* (Л® , (<U\
ЧГ =-?--Ur + 00" чг)> (31)
dE па г I dm . . dQ . sin V de \ /ооч
~~ a VT=? Ы +€°S ^ + ПГ?"5Г)' (32)
причем производные оскулирующих элементов в правых частях этих выражений должны быть взяты из уравнений (27). Если при решении уравнений (27) можно огра- 22 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
ничиться лишь точностью первого порядка относительно возмущений, то в формулах (31), (32) замены от t к V или E достаточно сохранить лишь первые члены.
Интегрирование уравнений (27) вводит шесть произвольных постоянных. В качестве них можно принять либо значения оскулирующих элементов в начальный момент, либо некоторые постоянные величины, выбираемые из тех или иных условий. Такие постоянные величины называются средними элементами и их необходимо отличать от оскулирующих элементов.
Уравнения (27) справедливы при любой возмущающей силе. В случае, когда уравнения возмущенного движения записываются в лагранжевой форме, их можно заменить более удобными. Действительно, пусть существует пертурбационная (возмущающая) функция R = R (г, г, t) такая, что
р = (33)
дг dt Qr 47
Тогда исходные уравнения (26) могут быть записаны в лагранжевой форме с лагранжианом
L = -L^2 + - + R. (34)
(и Г
Если ввести импульсы
P = (35)
or
то уравнения движения можно записать в переменных V, р в канонической форме с гамильтонианом
H = (36)
где
v~« + ir{W- <37)
Если при R = 0 канонические переменные глр выражаются по формулам эллиптического движения с помощью некоторых элементов а, е, Й, со, 2W, называемых в дальнейшем контактными, то в соответствии § 2] УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ 23
с методом вариации произвольных постоянных для канонических систем эти же формулы останутся справедливыми и в возмущенном движении при условии, что контактные элементы, как функции времени, удовлетворяют известным уравнениям Лагранжа с пертурбационной функцией V. Эти уравнения имеют вид:
da _ 2 дУ
dt ~~ na ддід '
de = 1 — ё* дУ У i—el дУ
dt ~~ паЧ Qyji паЧ '
di _ ctg7 dV cosec 7 дУ
~~ па? yr^aw na2 V 1-е2 dQ '
dQ _ cosec і dF
~~ na2 У 1-е2 ЭТ ' da) _ __ ctgl 3F dF
di уi_?2 dl МЧ дё '
di паЧ де na да
По сравнению с (27) эти уравнения обладают тем преимуществом, что в их правых частях фигурирует одна функция V вместо трех функций S1 T1 W. В классических задачах небесной механики, таких как планетная или спутниковая задача трех тел, R не зависит от г, поэтому р= г, и контактные элементы совпадают с ос-кулирующими. В общем случае, когда R зависит от г, контактные элементы отличаются от оскулирующих на величины порядка возмущений. Переход от одних элементов к другим осуществляется по аналитическим формулам. В самом деле, если векторные оскулирующие элементы с и / по определению удовлетворяют соотношениям (4), то для контактных элементов с и f справедливы аналогичные соотношения, но с заменой г на pi
с = г X P9 )
J ={р2--^)г-(гр)р^ (39)
(38)
J 24 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
Сопоставление (4) и (39) дает
Зная разности с — с, / — /, нетрудно по ним найти и разности кеплеровых элементов а — а, е — е, і — і, Q — Q, со — со. Что же касается разности Ш — то из уравнения Кеплера (13) со значением (29) и аналогичного уравнения в контактных элементах
<
E — е sin E = 2» + J ndt и
имеем
t
2» — & = _ J (п — /г) dt + E — Я — (е sin E — е sin Я), (42)
Jc
где под Z? нужно понимать функцию координат и скоростей, определяемую, например, выражением
TTa — TwO Г Г
и аналогично
tgfl= гр уГ.
rP — TmO У
2ч то
P2
Формулы (40)—(42) являются совершенно строгими. Если же достаточно ограничиться точностью первого порядка, то, как следует из сравнения (40) и (41) с (30), выражения для разностей а — а, е — е, і — і, Q — Q, со — со совпадают с соответствующими правыми частями формул (27), вычисляемыми по возмущающим «силам» F = — dRIdr. Разность Зй — Зй в пределах точности пер- § 3] ВОЗМУЩЕНИЯ OT ТРЕТЬЕГО ТЕЛА
