Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(а . 2 2*с10>\
a-0.(1 + -g- Y^TJH а "За") '
2* 36 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
Возмущения в радиусе-векторе с принятой степенью точности находятся по приближенной формуле
8r = (1 — є cos М) бя — CL cos M бе -f ае sin M бМ.
Поэтому постоянный член а в выражении возмущенного значения радиуса-вектора складывается из невозмущенного значения а0 и постоянной части в возмущении б г, находимой по короткопериодическим возмущениям в бе и бя. В итоге имеем
Если п — значение среднего движения, соответствующее а по третьему закону Кеплера, то
Обычно в теориях движения больших планет употребляют наблюденное среднее движение п, а в качестве большой полуоси — величину а. Таким образом, вековой член в средней долготе в эпоху компенсируется постоянным членом в выражении большой полуоси, т. е, заменой а на а.
Отбросим теперь в уравнениях для е и я короткоперио-дические члены и рассмотрим систему для вековых возмущений е, ?, Q и я. Уравнения (57) дают очень простое и вместе с тем достаточно хорошее приближение в задаче о вековых возмущениях больших планет Солнечной системы. Эти уравнения можно интегрировать приближенно, подставляя в правые части постоянные значения всех элементов, и тогда получаются вековые члены, пригодные на ограниченном интервале времени. Но эти уравнения можно проинтегрировать и точно. Рассмотрим для общности случай N планет. Тогда предыдущие уравнения для вековых
или
(58) § 3] ВОЗМУЩЕНИЯ OT ТРЕТЬЕГО ТЕЛА
37
возмущении перепишутся в виде: d N (к)
-Jl = - "к S [/г>Л eisin (пк- Ъ),
І=1
N <*>
(59)
(60)
= пкАк - пк S [Л, Л -?- cos (Kk-Ki)
и
di ?(к)
= щ 2 (К І) sin ij sin (Qfc — Qj),
N (к)
^jL = -UkAk+nk 2 j=l
где числовые коэффициенты имеют значения:
1 Wlj о /л\
1к>/] = -4- 1 + mfc <*fc«/з (a*,«j),
/) = тгт^г
= 2 (*>/), (?=1,2,...,TV).
Если теперь в качестве неизвестных ввести величины типа (25), то для их определения из (59) и (60) получим две независимые системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, решение которых дает выражения вида
N
^exp nfc = S J4Mf exp /=T {Cf + Xi), (61)
i=i N
sin It ехр /=T Qfc = S TjLf exp У=1 (gfi + T;)f (62)
где hj, Y7-, X/, Xj — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями, а собственные векторы Л/у**, и собственные числа cj, g} линейных систем представля -ют собой функции масс и больших полуосей. Решение (61), 38 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
(62) известно в небесной механике под названием тригонометрической теории вековых возмущений Лапласа—JIar-ранжа. Здесь вековые возмущения, играющие основную роль в эволюции орбит, представлены в чисто тригонометрическом виде и не приводят к вековым членам в координатах и скоростях планет. Вопрос о вековых членах в долготах перигелиев и узлов решается на основании анализа численных значений коэффициентов выражений (61), (62). Типичным является случай наличия вековых членов, что соответствует вращательному движению перигелиев и узлов. Но встречается также й случай отсутствия векового члена, когда соответствующий перигелий или узел совершает либрационное, колебательное движение относительно некоторого значения.
Существенной чертой тригонометрической теории вековых возмущений является и то, что определение вековых возмущений здесь отделено от определения остальных возмущений. Эта идея разделения возмущений короткого и долгого периода лежит в основе всех современных аналитических методов небесной механики. В самых общих чертах их суть сводится к тому, чтобы подходящим преобразованием ввести медленно меняющиеся переменные типа (25), определяемые автономной системой нелинейных дифференциальных уравнений. Решение такой эволюционной системы уравнений можно далее искать или в аналитической форме, простейшим примером чего является решение (61), (62), или численными методами. Подобный путь может быть использован для построения теорий движения планет и спутников Солнечной системы как в случае вращательного движения линий апсид и узлов, так и в случае либрацион-ного движения.
В заключение данного параграфа выпишем в явном виде уравнения для вековых возмущений. Как ясно из вышеизложенного, эти возмущения получаются при осреднении пертурбационной функции по средним аномалиям, т. е. по быстро меняющимся угловым переменным. Возвратимся к общему случаю уравнений (38) для контактных элементов. Вековые возмущения обычно принято находить в оскулиру-ющих элементах. Если R не зависит от t вне аргумента тригонометрических функций, то, как следует из (40), (41), вековые возмущения для геометрических оскулирующих_ и контактных элементов будут одинаковыми. Что же ка-^ § 4І ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ НЕСФЕРИЧНОСТИ ЦЕНТРАЛЬНОГО ТЕЛА 30
сается средней аномалии в эпоху, то надо учесть последний член в формуле (44). Окончательно, уравнения для нахождения вековых возмущений первого порядка в оскулирую-щих элементах примут вид:
da
2 d[R]
dt па дШ '
de __ 1-е* dt ~~ di_ dt
Уі — <
____ d[R]
