Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= xO-?^ ^1, = -Pg + ^ xv = жз< = Л (37)
±у 1 - ?2 ' ± VrI — ?« 1
§ 4. Криволинейные координаты в аффинных и евклидовых пространствах
До сих пор использовались исключительно аффинные координаты и аффинные преобразования. Это вполне естественно, так как при этом все соотношения в А пи R п принимают наиболее простой вид. Однако ничто не мешает ввести в рассматриваемом аффинном пространстве А п криволинейные координаты Xі', связанные с аффинными координатами Xх посредством обратимого, однозначного, непрерывно дифференцируемого, нелинейного преобразования Xі' = Xі' (х1, . . ., хп). Радиус-вектор х произвольной точки Af, допускающий обычное разложение (1) по векторам выбранного аффинного репера, становится теперь функцией криволинейных координат X= х (х1', . . .,яп'), причем п векторов
дх дхг —— = —- е{ дхгг дх
являются линейно независимыми в силу неособенности преобразования, связывающего аффинные и криволинейные координаты.
Обозначим теперь криволинейные координаты через Xх и рассмотрим в точке Af п координатных линий — кривых, вдоль которых меняется лишь одна из координат. На координатной линии хг радиус-вектор текущей точки становится функцией лишь этой координаты и производная 60
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
Xi = д xldxK, взятая в точке M, представляет собой касательный вектор к этой линии в данной точке. В силу сказанного выше п векторов Xi (і = 1, . . п) являются линейно независимыми и вместе с точкой M образуют локальный репер в An. Таким образом, при употреблении криволинейных координат в каждой точке M пространства An строится свой локальный репер, в отличие от единого аффинного репера в аффинных координатах. Если, в частности, Xі — аффинные координаты, то в силу разложения (1) имеем просто Xi = Єі.
При обратимом, однозначном и непрерывно дифференцируемом преобразовании, связывающем криволинейные координаты Xі и Xі':
Xit = Xі' (х\ . .., Xn), Xі = Xі (*1', . . ., Xn'), (38)
возникает новый локальный репер, связанный со старым при помощи преобразования
xV — Q^i, (39)
поскольку
дх __ дх дх*
дх{' ~~ дх1 dxif
Таким образом, постоянные коэффициенты А\* преобразования (2) от одного аффинного репера к другому, заменяются теперь на переменные коэффициенты дх11дх*', являющиеся функциями точки М.
В криволинейных координатах компоненты тензоров вычисляются относительно локального репера, и при преобразовании (38) для I раз контрвариантного и к раз ковариантного тензора имеем
a Jrj (M) = (M)... (M) -»t(M)...
і "гк дх» дхП і,
дх 1
...^-(M) а-:Х(М). (40)
дх1*
Все операции тензорной алгебры сохраняются и в криволинейных координатах. Однако операция дифферен- КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
61
цирования принимает более сложный вид, поскольку это требует рассмотрения тензоров не в одной, а в разных точках пространства, т. е. отнесенных к разным локальным реперам. Первая проблема, с которой приходится сталки-саться при этом, состоит в параллельном переносе вектора.
Пусть в некоторой точке M (х1) кривой Xх = Xх (I) задан постоянный вектор имеющий координаты относительно локального репера в точке M:
l = lk(t)xk. (41)
При параллельном переносе этого вектора в соседнюю точку M (хг + dxx) его координаты изменяются в силу изменения локального репера и станут + d%k. Дифференцируя (41), находим
xkd%k+ ^dxj = 0. (42)
Но
dx j — X'ijdx ,
где
— dxj —
Хіз ~~ дх* ~~ дх1 дхі '
Разлагая этот последний вектор по векторам локального репера, получаем
Xii = TfjXk. (43)
Подстановка найденного выражения для dxj в (42) приводит в силу произвольного выбора локального репера к формуле
dlk = - (44)
показывающей, как меняются координаты вектора при его параллельном переносе (с точностью до бесконечно малых высших порядков). Величины Г**, симметричные по своим нижним индексам, носят название коэффициентов связности, поскольку при их помощи «связываются» координаты вектора в соседних точках пространства. В аффинных координа ах Х{ = Хц = 0 и Г* = 0. Обращение в нуль коэффиц ентов связности TkJ является необходимым и достаточным условием того, чтобы криволинейные координаты Xх в An были бы аффинными. 62
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
При переходе к новым криволинейным координатам вторые производные Xij, как это следует из (39), преобразуются по закону
_ д2хк дхі дхі
Xif j' — :-Г- A/if —}— -j— . Xi
' дх*'дх>' к ^ дх" дхJf lj'
откуда применением соотношения (43) в новых и старых координатах находим
„к' дЧ* дх, Bxi дхі дх*' „к //сч
1 i'j' = -:-:--:----:--:--г- A iv (45)
J dz1'dz'' дх* dxv дхЗ' дх* 3 v '
Итак, коэффициенты связности в общем случае не являются тензорами и лишь при линейных преобразованиях в силу исчезновения членов со вторыми производными ведут себя как тензоры.
Формула параллельного переноса (44) служит основой для аппарата абсолютного дифференцирования, рассматриваемого в § 7.
При употреблении криволинейных координат в евклидовом пространстве Rn метрический тензор определяется как скалярное произведение векторов локального репера
