Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Из вариационного принципа в форме (96) вытекает следствие: для того чтобы неизотропная линия в Vn имела стационарную длину, необходимо и достаточно, чтобы она была геодезической.
При помощи геодезических можно, по крайней мере в некоторой окрестности любой точки M в Vn1 построить очень удобную систему координат, называемую полугеодезической. Для этого выберем неизотропную гиперповерхность Vn^11 проходящую через точку M и заданную параметрическими уравнениями
Xі = Xі (и1,..и11-1).
В точке M проводим нормальную к Vn^1 геодезическую с параметром S1 если она вещественной длины, или а, если она чисто мнимой длины (изотропной эта геодезическая быть не может, поскольку она является нормалью к неизотропной гиперповерхности). Всякую точку L1 лежащую на этой геодезической, можно характеризовать координатами Xa1 Xn1 где Xа = иа (а = 1, . . ., лг — 1), а хп совпадает с s или с. Построенная таким путем система координат и называется полугеодезической.
Установим вид метрической формы в этой системе. Пусть dxl — смещение из точки L по координатной линии Xn1 a Sxt — смещение по гиперповерхности Xn = const. Тогда
dx1 = ... = dx71-1 = 0, oxn = 0.
В силу ортогональности координатных линий хп к гиперповерхностям хп = const скалярное произведение 84
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНС) ВОЙ ГЕОМЕТРИИ
ІГЛ. 2
векторов dxl и 6^ обращается в нуль, откуда следует (^11S*1 +... + gnt ni6*n-i )dx» = 0.
Так как смещения бх" (а = . . ., п — 1) произвольны, a dxn =f= 0, то
' ' • 8п. п-1 ^e
При смещении вдоль координатной линии хп ds2 = gnadxn\
т- е- ёпп = Zjhl (знак «+», когда dxn = ds, и знак «—», когда dxn = da). Итак, окончательно в полугеодезической системе координат имеем
ds2 = ga?dx*dx* ± (dxn)2 (а, ? = 1, 2,. .п - 1). (104)
§ 9. Тензор кривизны
Как уже указывалось, все операции с абсолютными дифференциалами и производными первого порядка производятся так же, как с обычными дифференциалами и производными. Но уже для абсолютных дифференциалов и производных второго порядка положение меняется, так как для них не выполняется закон коммутативности.
Рассмотрим в Ln одноковариантное тензорное поле ах = ах (ж1, . . ., хп), и пусть D, d — операторы абсолютного и обычного дифференцирования, при смещении из данной точки в каком-то определенном направлении, а Л, d — также операторы абсолютного и обычного дифференцирования, но при смещении по какому-то другому направлению. Дважды применяя формулу (82) — сначала для вычисления Dai, затем для вычисления DDai, имеем
DDai= Iidai- I'Uajdx1) — Yki (dam— Y\majdxl)dxk = = Mai —dYUajdx1 — YUdajdx1 — YUajddx1 — YUdajdx1 +
+ Y^YLajdxdxk.
Меняя порядок дифференцирования и составляя разность полученных выражений, находим
DDai — DDal = Kkl'jajdxkdx , (105) ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
85
где
Rmi = -?- + Г?тГГі - -З" - ГІтГн. (106)
дх дхк
Поскольку левая часть соотношения (105) представляет собой тензор, то и правая часть должна быть тензором. Поэтому и выражение (106) является тензором. Этот тензор носит название тензора кривизны или тензора Римана — Кристоффеля. Непосредственно из (106) видно, что этот тензор антисимметричен по первым двум нижним индексам
/W = - BklI (107)
Вычислим далее второй альтернированный абсолютный дифференциал от контрвариантного вектора а\ Для этого проще всего свернуть CLj с произвольным ковариант-ным вектором и взять абсолютные дифференциалы от полученного таким образом инварианта. Поскольку
D (а%) = (Dv)Ij+ aWlj
и
DD (а%) = (DDaj) Ij + Dai Dlj + DafDlj + aj DDlj,
то
(DDaj — DDaj) Ij = - aj (DDlj - DDlj),
откуда, используя (105) и учитывая произвольность ?уэ имеем
DDaj - DDaj = - R^avSxk dz1. (108)
Для тензора произвольного строения аналогичным путем получаем
(DD - DD) j' = (- а^ - ... -R^h а^;;^+
+ яд- <і,:\+• • • + ^Vti1** (109>
Выясним теперь геометрический смысл тензора кривизны. Рассмотрим кривую хг = Xі (s) (считая для простоты, что параметром является длина дуги) и вектор Iі = ?45)* 8? ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. iI
параллельно переносимый вдоль нее. Найдем уклонение его координат при обходе по бесконечно малому замкнутому контуру. Интегрируя уравнения параллельного переноса (44) от точки М, соответствующей значению 5 = 0, до текущей точки кривой, получим, что координаты вектора изменятся на величину
AIi= -Jtfj6'^*.
О
Разложим теперь подынтегральную функцию в окрестности точки М. Так как
/ дГг \
^(Tb)M+[^) J^ + ..., V = IL-(TLim)M^k + ...,
ТО
AIi A - (ВДмД/ + (HmITi - "Зг)м & { ЬхЧхК
о
Рассмотрим бесконечно малый замкнутый контур, лежащий на двумерной поверхности хк = Xlc (и1, и2). При обходе по этому контуру первое слагаемое обратится в нуль (так как при возвращении в точку M Axk = 0), а интеграл во втором слагаемом преобразуется по теореме Грина к поверхностному интегралу, распространенному по области поверхности D, охваченной контуром
ф АхЧх1 = (J) хЧх1 = (j) a* (j^du1 + ^U"2) =
=5 [і(** д?) - і (** ё)] =2Sj
Через Xki здесь обозначен кососимметричный дважды контрвариантный тензор
