Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Ф„: M->R, 0<фя(хХ1,
supp (ф„) с: U4n) для некоторого X (п) е Л,
3. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
37
покрытие {supp (ф„) |neN} локально конечно, для любого х е М имеем ? Ф* (*) — 1 •
neN
3.7. Локальная конечность означает, что каждая точка обладает такой окрестностью К, что
множество V Г) supp (фя) непусто лишь для конечного числа натуральных п.
Множество {ф,. | п е N} называется разбиением единицы, подчиненным покрытию {t/jX еЛ}.
Сумма Е Фа корректно определена, поскольку
nGN
в окрестности любой точки только конечное число ее членов отлично от нуля.
Типичное приложение теоремы о разбиении единицы. Возьмем в качестве шары, определяемые с помощью координатных систем на М. Замыкания U), компактны, и, значит, носитель supp (ф„) тоже компактен. Если f: М -> R* — произвольное дифференцируемое отображение, то сумма /= ? / • ф„ ло-
кально конечна, так как слагаемое f • ф„ обращается в нуль вне компактного множества supp (ф„).
Доказательство теоремы. Многообразие М локально компактно и имеет счетную базу. Поэтому (Schubert, Topologie, p. 90) можно найти такое покрытие {У„| ле е N}, что VnczUk (л), и тогда покрытие {Vn j neN} локально конечно. Без ограничения общности можно считать, что каждое V„ содержится в некоторой координатной окрестности. Применяя теорему Уитни, получаем положительную дифференцируемую функцию т„: M->R,jraKyio, что тя(х) = ф Vn. Ясно, что supp (т„) = Vn. Положим
* (х) = Е т„ ».
neN
Тогда т(х)>0 при всех х и функция т дифференцируема, ибо определяющая ее сумма локально конечна. Следовательно, мы можем положить ф„==тл/т. В
38 3. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
Ниже мы будем часто говорить, например, так:
«без ограничения общности можно считать, что множество supp (/) компактно и содержится в шаре радиуса < е,..
Такие замечания всегда обоснованы тем, что всякая функция f является локально конечной суммой функций. обладающих этим свойством.
4. РОСТКИ И СТРУИ
Литература: Р. Нараснмхан, Анализ на действительных и комплексных многообразиях, «Мир», М., 1971.
С. Леиг, Алгебра, «Мир», М., 1968.
Дж. Мезер, Конечно определенные ростки отображений, сб. Математика, 14 : 1 (1970), 145—175.
И. Бурбаки, Алгебра, гл. IV, «Наука», М., 1965.
Введем обозначения:
8 (п) = кольца дифференцируемых ростков (Rn, 0) -> R; С“ (п) = кольцо дифференцируемых функций Rn->-R.
Имеется сюръективное отображение С°°(п) -* 8 (п), В С°“ (я) есть идеал
a = {feC“(n)|f обращается в нуль в некоторой
окрестности начала координат}.
Равенство 8 (п) — С°° (п)/л можно использовать для определения кольцевой Структуры на множестве 8 {п). Положим
m(ft)-{/e*(n)|/(0)-0}.
Тогда т (л) — максимальный идеал в 8(п), и отображение f *-*¦ f'(0) определяет изоморфизм 8 (n)/m(n)s? asR. Более того, ш(п) — единственный максимальный идеал в 8(п). Действительно, пусть f ф m(n). Тогда J (0) Ф0 и, значит, никакой представитель / ростка f ие обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат. Отсюда следует, ito определен росток 1U, т. е. росток ] обратим и не содержится ни в каком собственном идеале кольца 8 (л).
Положим C“(M) = {/: Al->-Rj функция / дифференцируема}.
40
4. РОСТКИ И СТРУИ
4.1. Упражнения. 1. Пусть М — дифференцируемое многообразие. Докажите, что множество а* = {/е е С°° (М) | / (х) — 0} — максимальный идеал в С°° (М).
2. Пусть М — компактное дифференцируемое мно-
гообразие и а — максимальный идеал в С°°(М). Покажите, что существует такая точка что а =
= {f<=C~(M)jf(*) = 0}.
3. Для некомпактного многообразия М постройте максимальный идеал ас:С°°(М), такой, что для любой точки х <= М найдется функция f е а, не обращающаяся в нуль в точке х.
4. Пусть a: (k) — гомоморфизм колец.
Покажите, что либо а — 0, либо а(1) = 1. Покажите также, что a (m(;z))c:m(ft).
Пусть хь ..., хп — координатные функции на R".
Тогда идеал ж (л) порожден ростками хх......х„. Верно
и более общее утверждение:
4.2. Теорема. Пусть m(k) — идеал в <$(п •+¦ k), состоящий из ростков в нуле f: RnXR*-»'R, удовлетворяющих условию ] j R" X {0} = 0. Пусть (хь ..., хп, Уи ¦ • У к) — координаты в R^XR*. Тогда идеал ш(А:) порожден ростками yt (т. е. ростками функций, переводящих {х, у) в tji). Следовательно,
k
f €= m {k) = ? Уtft, где f, s 8{n -f ft).
Доказательство. Для ростка J k) выберем
представитель f: RaXRk~*Rk, удовлетворяющий
условию f | R" X {0} = 0. Тогда
= (*. *У)di — \ щ (x, ty) • 4^ dt —
* i k = Л Ml M dt = Z Vi ‘ h (*. уЪ
(-1 о ____________<-1
