Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
IR“X{0})--|J-
6
индуцирует изоморфизм
g(n + k)/m(кГу*]].
4, РОСТКИ И СТРУИ
45
Кольцо в правой части этого равенства называется кольцом формальных степенных рядов от переменных Уи • • • I Ук е коэффициентами в кольце <? (п). При п — 0 получаем изоморфизм
S’ (ft)/m (ft)“ eg R .... **]].
Иными словами;, для всякого степенного • ряда (необязательно сходящегося) существует функция, ряд Тейлора которой в нуле совпадает с этим степенным рядом.
Доказательство, Отображение В (п + k)jm (ft)00-> -*«У(й)Д0|,'.... уь]1 ииъективно. Действительно, если f ft) и jE5°*чIRrt X {0} — 0 для всех р, то, по теореме 4.5, / е m (ft)* для всех s. Остается доказать следующее утверждение
4.10. Пусть для каждого {5 — (ft, ..., р*) задан росток (R", О) -> R. Тогда существует такой росток ?: (Rn X R*. 0) -> R, что (D% ef 1R" X {0})« fp.
Для каждого выберем представитель /р: R"->R с компактным носителем, лежащим в К(0, 1). Возьмем функцию ф: Rft-> R, удовлетворяющую условиям: 0<<р<1, <р(у)=*1 при |уК!/а и <?(у) = 0 при \у\^>1‘ Пусть у— {у и • • ¦) у к)- Положим
(*) f{xt K^eR.
ь
Предположим, что последовательность ^ в i можно выбрать так, чтобы ряд
Y, °а (“рг~ 'У*'? ^ • ^))
*
равномерно сходился при каждом a — (ah .... an+k). Тогда / была бы корректно определена и дифференцируема н равенство (*) можно было бы дифференцировать почленно. Поскольку росток функции ф (^ • у) равен 1, мы получили бы
О0'е/1 R" X {0} — fp,
46
4. РОСТКИ И СТРУИ
что и требуется доказать. Таким образом, осталось только показать, что найдется достаточно быстро возрастающая последовательность {/|в|}, для которой ряд (**) равномерно сходится при каждом а.
Для этого запишем р-й член ряда (*) в следующем виде (/|р | > 1):
(1/АPi)'61 ' • (fipi • yf -ф(*|01 • У)~
= (l/f|0|)iai * • \j?3 (/(0| • у).
Функции ¦фр обращаются в нуль вне множества {14вг#Ю1}. Положим теперь
Afp = щах {| ?>“ (fp (х) • ijjp (у)) |, I а | < | р |}.
Заметим, что supp(fp • сг{(х, у) || х\, | у К l} и что существует лишь конечное число таких а, для которых |а|<|р|. Следогательно, число корректно определено.
Так как /(, > 1, то из | а | < I РI следует, что
|р-й член в (^Ж(^Р|)|а|*(1//|р|),В1 ••^р<уИр//,р|
(напоминаем, что а = (а!, ..., а„+4))• Найдем теперь такую последовательность чисел ер > 0, что сходится
ряд ?ер, и возьмем /|р, > Мв/еу Окончательно получаем, что при jp|>|aj р-й член ряда (+*) мажорируется числом ер. I
Как уже было сказано, формальные степенные ряды образуют кольцо, которое мы обозначили через R[(X|, .*„]]. Это кольцо будет также обозначаться
через % (п), а его элементы — через f .
В этих обозначениях отображение из теоремы Бореля:
& (п) &(п)1т (пГ = $ (п)
задается формулой f *—* f. Если
f = ? = Z gaX°, гДе fa.?a€=R,
Л гч
4. РОСТКИ И СТРУИ
47
то
f ¦+¦ ?=Z(/a + ?a)*°. a
f ¦ ё—E ( Z /р • gy) **.
о \p+V*-o p /
Если fe^(n), to j{f) — p°(/) = f называется струей (или oo-струей) ростка f в нуле.
4.11. Отображение & (п)-* 8 {п) — гомоморфизм
алгебр.
Докажем, например, что
if-gf^f •?•
Для любого k мы можем написать
f = p + m, g = q + r,
где р и — многочлены и га,геп(«)Н1.
Отсюда f ¦ g = р • <7 -+• <п\, где т,еш (л)4+|. Следовательно,
U • g^^iP • ?Г “Р •<7modm(n)*+l,
поскольку при разложении в ряд Тейлора любого многочлена мы получаем тот же многочлен.
4.12. Кольцо 8 (п) обладает единственным максимальным идеалом in (п), где
m(rt) = {/s#(n)|/(0)«0}.
Если f&in(n), то / = /0-(!—/,), где /,ей(я) я 0^f0eR, что дает возможность написать следующий стеленной ряд:
(1 + !,+/;+...)
(который еще нужно упорядочить по возрастанию степеней мономов).
Следовательно, f ф m (л)=Ф/ — обратимый элемент & (п) (=Ф f — обратимый элемент 8 (п)).
48
4. ростки и струи
4.13. Идеал т(п) порожден элементами хи ..., ха (каждый моном делится на некоторый из элементов хи .... *„)• Наконец,
т(яГ=П т(я)* ={()},
$-1
поскольку всякий отличный от нуля степенной ряд имеет порядок, определяемый как наименьшее из k е N U {0}, таких, что в разложении f — S L**
&
при |pl = fc.
Ясно, что
порядок (f • ?) = порядок (f) + порядок (?)
(по определению, порядок (0) = оо).
Если f е iii (л)4, то порядок (f) ^ k. Поэтому если fern (л)°°, то для любого k порядок (/) ^ k, т. е. f = 0.
Следующий результат менее тривиален.
4.14. Кольцо ?{п) нётерово и факториально (последнее означает, что в #(л) нет делителей нуля и однозначно разложение ца простые множители) (см. Bvo-бакя!).
