Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
3.1. Лемма. Определим функцию X: R->R фор-мулами
\{t) = 0 при О,
\{t) = e~vt при t> 0.
Тогда и функция Я (бесконечно) диф-
ференцируема на всей прямой.
Доказательство. Производная порядка п от Я при />0 имеет вид q{l]t)e~llt, где q — многочлен степени 2п. Поэтому при i —*¦ 0 производная порядка п также стремится к нулю. Следовательно (по теореме о конечном приращении), функция Я бесконечно дифференцируема в точке 0 и имеет нулевой ряд Тейлора в этой точке. |
Пусть теперь е > 0. Определим функцию <pe! R-» -+R формулой
/14 Я. (/)
Фе W — X (/) + X (в - о •
34
3. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
Тогда фе дифференцируема, 0^фе^1, фе(0 = 0ФФ & t < 0, фе (0 = 1 для t > е.
<pe(t)
1 1 /
xfe-tT4 /
Oct Г- e t
Положим К {х, r) = {t/eR',||y — х|<г}. Эго шар радиуса г с центром в точке х. Для фиксированных х, Г > О И ? > 0 функция
Ч>: R"-*R,
У—* 1 —Фе (\у — х\ —г)
обладает следующими свойствами: г|). дифференцируема, 0<il>(t/Xl и i\>(y) — 1 при у^К(х,г). Дифференцируемость вытекает из того, что там, где не дифференцируема функция | у — х |, функция ф локально постоянна. Итак, \jj(у) = 0 тогда и только тогда, когда у щ К° (х, г -+- е).
К(х,г)
Вот первое приложение полученных результатов:
3.2. Обозначим через С00 (R") множество всех дифференцируемых функций Rn-> R, через <? х {п) — множество ростков функций (Rn, лг) —R и через рх: С°° (R'1) -*• 8х (п) — отображение, сопоставляющее каждсй функции f ее росток в точке х. Тогда отображение рх сюръективно.
3. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
35
Доказательство. Пусть росток ср: (R4, *)-»¦ R представлен отображением ср: U-*R. Выберем г и е>0 так, чтобы К (х, г + е) с: U, и возьмем описанную выше функцию -ф. Тогда ф = (ф * -ф) и (<р • ф) (у) = О вне К {х, г + е). Поэтому функцию ср • ф можно продолжить тождественным нулем вне К {х, г + е) до функции, определенной на всем Rn. В
Разумеется, соответствующий результат верен не только на Rn, но и на произвольном дифференцируемом многообразии Мп.
3.3. Теорема (Уитни). Всякое замкнутое подмножество пространства Rn (или дифференцируемого многообразия) есть множество нулей некоторой дифференцируемой функции.
Доказательство. Пусть А — замкнутое множество в Rn, U = Rn — А — его открытое дополнение. Можно считать, что U ф 0, и, значит, ?/=U K°(xm,rm).
me N
Пусть фт: Rn-> R — неотрицательная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
$m(y) 0<$y<=K°(xm, rm).
Определим тогда функцию ф: R"-^R формулой
оо
Ф(У)=^ Е Фт(у) • ет*
т—1
где {ет | т е N} — последовательность положительных целых чисел, выбранная так, чтобы всякая производная функции етфт порядка ^ т пр абсолютной величине не превосходила 1/2т (заметим, что при фиксированном т таких производных конечное число). Так как функция фт и все ее пооизводные отличны от нуля только на компактном множестве К(хт, гт), то такую последовательность действительно можно построить. Следовательно, ряд, с помощью которого определяется функция ф, равномерно сходится на всем Rn. То же верно и для всех рядов, которые получаются из него почленным дифференцированием, поскольку-в каждой точке любой такой ряд почленно
36
3. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ
мажорируется по абсолютной величине числовым рядом X (1/2т). Значит, функция ^ дифференцируема и -ф (х) == 0 при лее Л, так как каждая из функций •фт обращается в нуль нг всем Л. С другой стороны, ^ (х) Ф О при хфА, ибо по меньшей мере одна из функций отлична от нуля в точке х. |
Стоит сравнить этот результат с теоремой Сарда. Всякое множество, определяемое непрерывными уравнениями, замкнуто, и всякое замкнутое множество может быть определено дифференцируемыми уравнениями. Теорема Сарда утверждает, однако, что для дифференцируемого отображения f большинство множеств вида f(x) = b не являются патологическими.
3.4. Уп. ажнения, 1. Пусть Ло и А\ — непересека-ющиеся замкнутые множества в R". Докажите, что существует дифференцируемая функция <р: R'*-»-R, такая, что Л0==ф"’{0}, Л|=ф-1{0 и О^фМ^Ь
2. Пусть Л — замкнутое множество в R". Докажите, что существует дифференцируемое отображение f: Rrt -*¦ R", такое, что Л является множеством критических точек /.
3. Существует дифференцируемое отображение f: R -* Rn, такое, что множество /(R) плотно в Rr.
3.5. Определение. Пусть R" гз А —^ R*. Тогда множество supp (/) = {х е Л | / (*) Ф 0} называется носите-лем f (черта обозначает замыкание в Л). Иными словами, х ф supp (/) 4Ф росток f: (Л, *)-*R* — нулевой.
3.6. Теорема (о разбиении единицы). Пусть М — ди фференцируемое многообразие и {?/*. j X е Л} — его открытое покрытие. Тогда существует последовательность дифференцируемых функций {фп | п е N), обладающая следующими свойствами:
