Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
2.6. Лемма. Если множество С cz R" имеет меру нуль и f: С —> Rn—дифференцируемое отображение, то множество f{C) имеет меру нуль.
Доказательство. Выберем открытое множество U, содержащее С, и дифференцируемое отображение F: такое, что F\C — f. Поскольку'U является
объединением счетного числа замкнутых шаров, без ограничения общности можно считать, что С содержится в некотором компактном шаре н что .покрывающие С кубы также содержатся в (несколько большем) компактном шаре К, который в свою очередь содержится в U.
Положим теперь
& = max {|^(х)||х
Если длина ребра куба W равна а, то \xt — x°i\^,a для xelT, откуда
22
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Значит, множество F{W) содержится в кубе с длиной ребра (Ьп) • а. Следовательно, из равенства 1^1 = 0" вытекает, что F (W) содержится в кубе объема
(bn)n -an = (bn)n -\W\,
причем константа (Ьп)п ке зависит от W. Если 2| | < e/(bn)n, то все F {Wt) содержатся в объеди-
нении кубов, сумма объемов которых меньше е.
Из сказанного вытекает, в частности, следующее утверждение.
2.7. Свойство множества С cz Rn иметь меру нуль является локальным дифференциально-топологическим свойством.
Локальность означает здесь, что С имеет меру нуль в том и только том случае, когда для каждой точки х <= Rrt найдется такая окрестность U, что множество С П U имеет меру нуль.
Часть «Ф» доказывается тривиально: положим U — R".
ф. Покроем R" счетным числом таких окрестностей ир. Тогда С —С П ( U Up)'— U (С П ир), а
\p<=N / ре N
последнее множество имеет меру нуль.
Термин дифференциально-топологическое свойство означает, что диффеоморфизмы переводят множества меры нуль в множества меры нуль. Более общо, тем же свойством обладают произвольные дифференцируемые отображения Rn-> R".
Предостережение. Свойство иметь меру нуль не является топологическим свойством. Существуют гомеоморфизмы плоскости в плоскость, переводящие единичный интервал на одной из осей в множество положительной меры.
Доказательство? Мы оставляем «го читателю в качестве упражнение (см. Mayrhofer К., Inhalt und Mass, Springer, 1952, и примените теорему Жордана о плоской кривой).
2.8. Теорема (Фубини). Пусть R?—i = {х е R") хп — =/} с: Rn. Пусть С — компактное множество в >Rn, и
г. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
23
пусть для любого t е R множество С Л R? ‘ имеет меру нуль в R?-1 Rn~‘. Тогда С имеет меру нуль
в R".
Доказательство. Мы используем следующую лемму.
2.9. Лемма. Из любого покрытия, отрезка [0, 1] открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие {/у}4 < / < удовлетворяющее усювию 2|/,|<2.
Доказательство леммы. Выберем из данного покрытия открытыми интервалами миглмальное конечное подпокрытие, т. е. подпокрытие, из которого ни один интервал нельзя выбросить. Обозначим это покрытие через {/у}]</<*, и пусть ау и bу — концы интервала /;. Перенумеруем " интервалы так, чтобы числа at возрастали с ростом индекса /. Это можно сделать, так как если а4 = ау, то либо bf^.bjt и тогда интервал (a,, bt) излишний, либо b1 < blt и тогда можно выбросить интервал (ву, bj) (мы исключаем тривиальный случай Л <12). Далее,
Д/ < 0.1+1 < bi ^ ai+i.
Действительно, если бы нарушалось второе неравенство, то в покрытии была бы дырка. Для доказательства третьего неравенства заметим, что bt < 6j+i, так как в противном случае мы имели бы (at, bt) о id (fl/+i, bi+\). Поэтому если бы третье неравенство нарушалось, то мы имели бы
(ab &i) U (я/+2, &/+г) (a«+i, bi+j).
24
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Отсюда следует, что
? (Pt — at) ~ 2 (a<+i — Я/) + И (pi ai+0 <
< 2 (Qi+i — at) + S (°i+2 — Qi+l) < <2.
Это доказывает лемму. 1
Приступим теперь к доказательству теоремы Фу-бини. Определим С* равенством CtX{t}=C П (R^XM)-Без ограничения общности можно считать, что С с: cR"-1 X [0, 1] и что С< имеет меру нуль для любого /г [0,1]. Фиксируем е > 0. Найдем покрытие С( открытыми кубами сумма объемов кото-
рых меньше е. Положим Wf = [J lFicR"-1.
Is N
Если хп — последняя координата в R", то при фиксированном t функция |х„ —/| непрерывна на С и обращается в нуль »олько на С<Х{0- Поскольку множество С — {Wt X [0,1]) компактно, ограничение функции \xn — i\ на С достигает своего минимального значения а.
Следовательно,
Cn{*eR"||*„-/|<a)cl^X/,e,
где /« — (/-о, / + <х).
1. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
25
Семейство интервалов /“ покрывает отрезок [0,1 ]• Применив лемму, найдем конечное подпокрытие интервалами Iat, скажем }|</<*. удовлетворяющее
условию |<2. Параллелепипеды = 1, k, i е N} покрывают С, и сумма их объе-
мов меньше 2е. 3
2.10. Обобщение теоремы Фубини. Вместо компактности С достаточно предположить, что С есть объединение счетного числа компактных множеств. Вот несколько примеров множеств такого типа:
