Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
II
(*|. . .. ZB)
N./ (RB, 0)
показывает, что представителем ростка ?=*f оф-1 является отображение g, определяемое формулой
* "* (^Ь •••» ^п) 1 ^ (Zj, •••> Zfc» (z)i . fn(z)).
Его матрица Якоби имеет вид
‘ 1 0
Dg=* 0
0 1
? А (г)
где
A(z)^(dgjdzt), НК/Ст. Л+1</<л.
I. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
13
Так как в некоторой окрестности начала координат выполнено равенство Rk(g) = Rk(?>g) «** ft, то в этой окрестности матрица А (г) должна обращаться в нуль. Следовательно, без ограничения общности можно считать, что
(*) dg/ldz{ ™ 0 при k + 1 < I < m, k + !</<«.
Выполним теперь локальное преобразование в об* ласти значений отображения f, т. е. в Rm, а именно, определим росток ф: (R"1,0) -> (R"\ 0) формулой
~У\ У\
*
• Ук
Ук
Ук-н 1---> Ук+1 8к + 1 (i/i> •••> Ук% 0, 0, •••> 0)
•
- Уш - . Ут “ Вт (.У\г •••> У кг 0| • • ч 0)
Матрица Якоби ростка ф имеет вид
k m — k
• 0
0 1
1 0
? •
о 1.
поскольку ?f*+i(yi. ..., </*. 0, ..., 0) и т. д. не зависят от ifk+1, • ••. Уп‘ Следовательно, росток ф обратим, а представителем ростка является компо-
14
Т. РОСТКИ постоянного РАНГА
зиция отображений, заданных формулами
21 Zl
Zk
Zk + i gk+1 (z)
- gm{z) _
Zi
gk+i{z)— gb+i(2i> •••» zk> 0. 0).
. gm (z) — gm(zU . ... zk, 0, .... 0) _
Из соотношений (*) вытекает, что последние т — k компонент этой композиции, т. е. gb+i(zi, zn)—
— gk+i{zu ..., zk, 0, 0) обращаются в нуль на
«-мерном кубе jz/Ke. Следовательно, представителем ростка является отображение, заданное
формулой
(г,....zn)y-*{z{, .... z*, 0, ..., 0).
1.4. Приложение теоремы о ранге. Пусть U — открытое подмножество в R". Отображение f: U -> R* называется субмерсией, если Rkx f ~k (а иммерсией, если Rk* / — п) для любого хе?/, По теореме о ранге, а подходящих системах координат субмерсия (иммерсия) локально записывается в виде
(*i....хп)^{хи ..., хк)
((х|, ..., х„) •—> (xj, , хп, 0, ¦. •, 0)).
1.5. Определение. Подмножество М cz R" называется дифференцируемым подмногообразием в R"
I. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
15
размерности если для каждой точки хеМ
найдется обратимый росток ф: (Rn, x)-*-(Rn, 0), такой, что ф(М, x)==(Rm, 0)c:(R", 0) (имеется в виду R"1, линейно вложенное в R при т^п).
1.6. Пример. Множество Sn = {х е R't+I |(х, х) = = 1} —дифференцируемое подмногообразие в Rn+1. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
1.7. Упражнение. Обозначим через LA(n, т) =-= Кпт множество всех (т X л)-матриц, а через LA(n, т\ k) — его подмножество, состоящее из всех (т X я)-матриц ранга k. Докажите, что LA(n,m; k) — дифференцируемое подмногообразие в LA(n, т), и найдите его размерность.
1.8. Определение. Пусть f: R"-> Rm — дифференцируемое отображение. Точка у е Rm называется регулярным значением отображения f, если для любой точки х е R", такой, что f (х) = у, выполнено равенство Rkxf — m, т. е. ранг f в этой точке равен т. Всякое значение /, которое не является регулярным, называется критическим значением f. В частности, если y&f(Rn), то, согласно этому определению, у — регулярное значение f.
1.9. Теорема. Если у —регулярное значение отображения f: R'*-+Rm, то множество /“'{yJcR'*' является дифференцируемым подмногообразием в размерности п — m (либо пусто).
16
I. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
Доказательство. Пусть хе/_|{у}, т. е. н
Rkxf — m. Это означает, что ранг f локально постоянен в точке х. По теореме о ранге, существуют локальные преобразования <p: (R11, х)-*(И.п, 0) и
(R"\ у)(Rm, 0), такие, что росток f оф-> = имеет вид
/1 C^ll • • • > •*”(«* ‘ > ^n) s (•*¦!* • • • I Xm).
Отсюда видно, что росток fj-1 {0} — ф^!<ф_| {0} ¦*= «*Ф]~1{у) является ростком в начале координат множества {(0, ..., 0, хп+1, ..., *„)}.
1.10. Упражнения. I. Предположим, что /4 — симметрическая (п X п)-матрица и 0 ^ Ь е R, Докажите, что множество М — {х е Rn [х^х — Ь) либо является п >дмиогообразием размерности (я — 1) в Rn, либо пусто.
2. Пусть f: R^-vR" — дифференцируемое отображение, удовлетворяющее условию / ° f — f. Докажи те, что множество /(R'^cR'1 — дифференцируемое подмногообразие.
3. Вообще говоря, множество f~l {у} может н не быть подмногообразием. Приведите пример.
Пусть Mm cz Rm+* — дифференцируемое подмногообразие. Выберем обратимый представитель для каждого ростка ф из определения дифференцируемого подмногообразия; тогда:
