Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
(i) замкнутые множества: С — (J С Л {1*1
rteN
(И) открытые множества (объединения счетного числа замкнутых шаров);
(iii) образы множеств вида (1) и (ii) при непре-
рывных отображениях Rn-*-Rn (компактные множества переходят в компактные множества);
(iv) счетные объединения конечных пересечений множеств типов (i) — (iii).
Теперь мы докажем теорему Сарда.
2.11. Пусть U— отмытое множество в Rrt, f:U-* -*¦ R" — дифферзнцируемое отображение и D — {x^U\ Rkxf < р) — множество критических точек f. Тогда множество f{D) имеет меру нуль.
Доказательство. Индукция по я.
При п = 0 пространство R" состоит нз одной точки и f(U) состоит не более чем из одной точки, следовательно, теорема верна.
Шаг индукции. Обозначим через Dtc:U множество таких точек в которых все частные производные f порядка обращаются в нуль. Такие
Dt образуют убывающую последовательность замкнутых множеств
26
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Мы докажем три утверждения:
(a) множество f (D — D\) имеет меру нуль;
(b) множество /(?>/ —?)j+I) имеет меру нуль при любом i;
(c) множество /(?>*) имеет меру нуль при достаточно большом k.
Замечание 1. Все эти множества попадают в одну из четырех категорий множеств (i) — (iv), рассмотренных нами при обобщении теоремы Фубини.
Замечание 2. В случае (а) (и аналогично в случаях (Ь) и (с)) достаточно доказать, что каждая точка xgO — D, обладает такой окрестностью V, что множество f(V П {D — Dt)) имеет меру нуль. Это вытекает из того, что D — Z?| покрывается счетным числом таких V.
Доказательство (а). Предположим, что р ^ 2, поскольку для р = 1 мы имеем ?> — ?>,. Пусть tfe ей-?>]. Так как d&Du то существует частная
производная, скажем такая, что —¦ (d) Ф 0. Следовательно, отображение
A: U-+Rn, (лг,..........xn)^(fi{x),x2,
имеет в качестве матрицы Якоби матрицу
r-ik.
dxi
• о 1 0
• • о 0 1
Отсюда следует, что матрица D(h){d) невырожденна. Таким образом, в некоторой окрестности V точки d отображение h является заменой координат.
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
27
Рассмотрим диаграмму
D Л V —> D'
П “ П
V ——>¦ V"
??
\ / f\ /s-fh~l \ /
Rp
g(*i, •••» хп) = (хь g2(x)..gp(x)).
Очевидно, что g переводит гиперплоскость {xx—t} в гиперплоскость {ух — /}. Определим отображение
gK. {{i}Xr-l)(lV'->{t}XKP~l
как ограничение отображения g.
Точка множества ({/} X Rn—') П V' будет критической тбчкой отображения g в том и только в том случае, когда она является критической точкой отображения g‘. Это вытекает из того, что матрица Якоби отображения g имеет вид
Г 1 0 ... 0 1
Dg~ >
Г dxj
По индуктивному предположению множество критических значений отображения g{ имеет меру нуль в {OXR*"1. Поэтому множество &(1У) имеет пересечение меры нуль с каждой гиперплоскостью {x|xj — t}cRp. По теореме Фубини, множество g(D') имеет меру нуль.
Доказательство (Ь). Как и в случае (а), если d&Dk — Dk+i, то одна из производных порядка k 4* 1 не обращается в нуль в точке d. Без ограничения общности можно считать, что
28
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Введем функцию w: U-+R следующим образом:
-И-,»,. (*>•
S2 Sk+l
Тогда w(d)~ 0 и поскольку d^Dk
П
и d^?)ft+I. как и выше, отображение А: ?/-> R Л(х) = (су(дг), ...................*„)
является преобразованием координат в некоторой
окрестности V точки d и Л (?)* П V) с {0} X Rn_1 с: Снова положим
V'— А(V)R"
и
({0} X R"-1) f\V' Rp.
По индуктивному предположению множество критических значений отображения g° имеет меру нуль. Но всякая точка множества h(Dkf[V) есть критическая точка отображения g°, поскольку все частные производные g (а, следовательно, и g°) порядка ^k (в частности, порядка 1) обращаются в нуль. Следовательно, множество gh (Dk П V) имеет меру нуль.
Доказательство (с). Пусть W a U — куб с длиной
ребра а. Мы покажем, что при k > ~ — 1 множество
f(W П Dk) имеет меру нуль. Этого будет достаточно, поскольку U — счетное объединение кубов. По теореме Тейлора получаем, что
(Tv f (*+Л)=f {x)+R (х, Л)Л D п w + л s w
1’ |Я(дс. А)|<в- |Л|‘+1 /
где с зависит от W и /.
Ра^ожим W в объединение г" кубов с длиной ребра о/г. Если Wi — один из этих кубов, содержа-
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
29
щий точку лейц, то каждую точку из Wx можно записать как x-f h, причем
1*К^.
Следовательно, используя (Т), мы получаем, что множество f(W\) содержится в кубе-с длиной ребра, равной
2 • с • (а Уя)*+|/'‘*+| — Ь/г*+!,