Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брёкер Т. -> "Дифференцируемые ростки и катастрофы" -> 6

Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы — М.: Мир, 1977. — 208 c.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка): defrostkiikatostrofi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 52 >> Следующая


(i) замкнутые множества: С — (J С Л {1*1

rteN

(И) открытые множества (объединения счетного числа замкнутых шаров);

(iii) образы множеств вида (1) и (ii) при непре-

рывных отображениях Rn-*-Rn (компактные множества переходят в компактные множества);

(iv) счетные объединения конечных пересечений множеств типов (i) — (iii).

Теперь мы докажем теорему Сарда.

2.11. Пусть U— отмытое множество в Rrt, f:U-* -*¦ R" — дифферзнцируемое отображение и D — {x^U\ Rkxf < р) — множество критических точек f. Тогда множество f{D) имеет меру нуль.

Доказательство. Индукция по я.

При п = 0 пространство R" состоит нз одной точки и f(U) состоит не более чем из одной точки, следовательно, теорема верна.

Шаг индукции. Обозначим через Dtc:U множество таких точек в которых все частные производные f порядка обращаются в нуль. Такие

Dt образуют убывающую последовательность замкнутых множеств
26

2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Мы докажем три утверждения:

(a) множество f (D — D\) имеет меру нуль;

(b) множество /(?>/ —?)j+I) имеет меру нуль при любом i;

(c) множество /(?>*) имеет меру нуль при достаточно большом k.

Замечание 1. Все эти множества попадают в одну из четырех категорий множеств (i) — (iv), рассмотренных нами при обобщении теоремы Фубини.

Замечание 2. В случае (а) (и аналогично в случаях (Ь) и (с)) достаточно доказать, что каждая точка xgO — D, обладает такой окрестностью V, что множество f(V П {D — Dt)) имеет меру нуль. Это вытекает из того, что D — Z?| покрывается счетным числом таких V.

Доказательство (а). Предположим, что р ^ 2, поскольку для р = 1 мы имеем ?> — ?>,. Пусть tfe ей-?>]. Так как d&Du то существует частная

производная, скажем такая, что —¦ (d) Ф 0. Следовательно, отображение

A: U-+Rn, (лг,..........xn)^(fi{x),x2,

имеет в качестве матрицы Якоби матрицу

r-ik.

dxi

• о 1 0
• • о 0 1
Отсюда следует, что матрица D(h){d) невырожденна. Таким образом, в некоторой окрестности V точки d отображение h является заменой координат.
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

27

Рассмотрим диаграмму

D Л V —> D'

П “ П

V ——>¦ V"

??

\ / f\ /s-fh~l \ /

Rp

g(*i, •••» хп) = (хь g2(x)..gp(x)).

Очевидно, что g переводит гиперплоскость {xx—t} в гиперплоскость {ух — /}. Определим отображение

gK. {{i}Xr-l)(lV'->{t}XKP~l

как ограничение отображения g.

Точка множества ({/} X Rn—') П V' будет критической тбчкой отображения g в том и только в том случае, когда она является критической точкой отображения g‘. Это вытекает из того, что матрица Якоби отображения g имеет вид

Г 1 0 ... 0 1
Dg~ >
Г dxj
По индуктивному предположению множество критических значений отображения g{ имеет меру нуль в {OXR*"1. Поэтому множество &(1У) имеет пересечение меры нуль с каждой гиперплоскостью {x|xj — t}cRp. По теореме Фубини, множество g(D') имеет меру нуль.

Доказательство (Ь). Как и в случае (а), если d&Dk — Dk+i, то одна из производных порядка k 4* 1 не обращается в нуль в точке d. Без ограничения общности можно считать, что
28

2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Введем функцию w: U-+R следующим образом:

-И-,»,. (*>•

S2 Sk+l

Тогда w(d)~ 0 и поскольку d^Dk

П

и d^?)ft+I. как и выше, отображение А: ?/-> R Л(х) = (су(дг), ...................*„)

является преобразованием координат в некоторой

окрестности V точки d и Л (?)* П V) с {0} X Rn_1 с: Снова положим

V'— А(V)R"

и

({0} X R"-1) f\V' Rp.

По индуктивному предположению множество критических значений отображения g° имеет меру нуль. Но всякая точка множества h(Dkf[V) есть критическая точка отображения g°, поскольку все частные производные g (а, следовательно, и g°) порядка ^k (в частности, порядка 1) обращаются в нуль. Следовательно, множество gh (Dk П V) имеет меру нуль.

Доказательство (с). Пусть W a U — куб с длиной

ребра а. Мы покажем, что при k > ~ — 1 множество

f(W П Dk) имеет меру нуль. Этого будет достаточно, поскольку U — счетное объединение кубов. По теореме Тейлора получаем, что

(Tv f (*+Л)=f {x)+R (х, Л)Л D п w + л s w

1’ |Я(дс. А)|<в- |Л|‘+1 /

где с зависит от W и /.

Ра^ожим W в объединение г" кубов с длиной ребра о/г. Если Wi — один из этих кубов, содержа-
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

29

щий точку лейц, то каждую точку из Wx можно записать как x-f h, причем

1*К^.

Следовательно, используя (Т), мы получаем, что множество f(W\) содержится в кубе-с длиной ребра, равной

2 • с • (а Уя)*+|/'‘*+| — Ь/г*+!,
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed