Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Для S’(л) ни одно из этих свойств не выполняется. Действительно, идеал т(я)"с:#(п) не является конечно порожденным. (Доказательство этого факта мы предоставляем читателю в качестве упражнения, кото* рое не совсем тривиально, поскольку идеал m (л)“
?авен нулю н, следовательно, конечно порожден. >днако это доказательство легко получить, воспользовавшись следующей теоремой.)
4.15. Теорема (лемма Накаямы). Пусть Я —коммутативное кольце с единицей, обладающее единственным, максимальным идеалом та. Пусть А — конечно порожденный Я-моду ль. Тогда из равенства шЛ = А вытекает что А — 0,
4. РОСТКИ И СТРУИ
49
Следствие. Пусть выполнены те же предположения о кольце 91 и модуле А, и пусть В и С —такие 91-модули, что A, BczC и
А с В + хлА.
Тогда А с: В.
Доказательство следствия. Из AczB + mA вытекает, что
АЦА П В) <= [В + mА)1В = то {АЦА П В)).
По лемме Накаямы АЦА П В) = 0, значит,
А = А П В, т. е. А с: В. |
Доказательство теоремы. Докажем, что если ггш, то элемент 1 + г обратим (это все, что мы будем использрвать). Действительно, в противном случае 1 + + геи (так как элемент I +г, будучи необратимым, должен лежать в каком-нибудь максимальном идеале), откуда lent. Пусть а,, ..., а„ — образующие А над 91. Тогда, по условию теоремы, существуют такие г(1 е ш, что
П
at = ? 2ца{. t-i
Обозначим (n X гс)-матрицу (гц) через Z. Тогда наши соотношения примут вид a = Za, т. е. (Z — 1)а = 0, где 1 —единичная {п X л)-матрица.
Далее, det (Z — 1) есть значение характеристического многочлена матрицы Z в точке 1 и, следовательно, равно (± 1 + сумма произведений элементов матрицы Z), т. е. равно ± 1 + г, где г е то. Следовательно, элемент det(Z — 1) обратим, матрица (Z — 1) также обратима (правило Крамера), откуда а = ап) — 0 и А — 0. |
Если 91 = $ (п), то условию леммы Накаямы удовлетворяет любой идеал А, ибо кольцо % (п) иётерово. Однако в 8 (п) не всякий идеал конечно порожден,
so
4. РОСТКИ И СТРУИ
Возвращаясь к кольцам, которые мы изучали, положим
8 (п, р) — (кольцо ростков (R", 0) ->• Rp) =
== 8 (п) X 8 (п) X • • • X 8 (п) (р сомножителей.) Аналогично положим
8 (п, р) = 8 (п) X $ (п) X • - • X 8 (п).
Имеется отображение j: 8 (п, р)->8 (п, р), определяемое формулой
KF,......fp)=(f«........fp).
Для ростков
(R", 0) У~+ (Rp, 0) R*
можно определить композицию g°f: (Rn, 0)-^RIJ. То же верно и для формальных степенных рядов: если
f = (f .....fp),
6 — • • •. ёч), g/^&ip), то композиция ? о f е 8 (л, <7) определяется формулой
= ......U*))-
Равенстзо есть обобщенное цепное пра-
вило (обобщенное правило дифференцирования композиции отображений). (Доказательство этого правила подобно доказательству формулы (f • g)~ =f • ?.)
Всякий элемент f ^8(п, р) можно почленно дифференцировать по любой из переменных. Матрица
Якоби Df (0) определяется линейной частью f. Справедлива теорема об обратной функции.
4.16. Теорема. Элемент fe8(n, р), удовлетворяющий условию f (0) = 0, обратим относительно операции о в том и только в том случае, когда обратима матрица Df (0) (в частности, п — р)¦ Нейтральным элементом в 8 (п, п) относительно этой операции яв-
4. РОСТКИ И СТРУИ
б!
ляется следующая строка из формальных степенных рядов: (х,.....хп).
Доказательство. Если fog(x) = x,TO Df (0) •
• D?(0)=1, следовательно,
элемент f обратим =ф матрица Df(0) обратима
(функториальность матрицы Якоби!).
Предположим, что матрица Df (0) обратима. Выберем f s Ш (л, п) так, что /(f) = f. Тогда f~l °f (*) — = *, f ° f-1 (tj) — у. Следовательно,
f—10f(x) = x, f°f -l(y) — y- В
He следует принимать это доказательство слишком всерьез: эта теорема справедлива над любым полем и гораздо проще, чем теорема об обратной функции (см. Бурбаки).
Дифференцируемый росток f: (Rn, 0) -+¦ (Rp, 0) определяет гомоморфизм алгебр
f*: *(р)-**(я),
ф*-^ фО f,
и оо-струя f е (я, р), такая, что f(0) = 0, определяет соответствующий гомоморфизм
Ф Cl/l» • • •» Ур)1 ^ ф (f 1 (^1> • • •» Яп), • • • > f pfait • • ¦» Гомоморфизм колец f* позволяет превратить ?Г (я) в модуль над $ (р): для ф е 8 (р) и ф е (л) положим
Ф • Ф — Г(ф) • 'Ф = (Ф01) • 'Ф е S (л).
То же верно и для f*.
Следующие две главы будут посвящены изучению этих структур модулей. В частности, нас будет интересовать связь между f" и f\ а также решение такого вопроса: для каких / модуль 8 (л) конечно порожден над & (р)?
52
4. РОСТКИ И СТРУИ
Вот простой предварительный результат в этом направлении.
4.17. Замечание. Пусть J: (R", 0) -> (Rp, 0) — дифференцируемый росток. Тогда следующие утверждения равносильны:
(i) J обратим,
(И) Г — изоморфизм,
