Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
п сомножителей
где (х,.....*я)~(*я„).......**(„)) Для всякой пере-
становки я чисел (1, ..., я). Обозначим класс экви-
П
валентности через TLxt.
i-i
Основная теорема алгебры (для топологов). Пусть SPn — симметрическое произведение и S2 — СР! с одно-
56
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
родными комплексными координатами [а/, Отображение
SP"(SJ)->CP",
П
ПК t > [fffl, ..., ct i-i
задаваемое формулой
П {xat — ybt) = ?) ctyl X"1,
<-i i-о
корректно определено и является гомеоморфизмом.
Доказательство. Непрерывность очевидна, так как cj — многочлены от ah bt. Это отображение можно также определить формулой
П (д:а? — bl) = 'Zclxn-1. i-1 1-0
Инъективпость означает, что коэффициенты многочлена определяют его корни. Сюръективность означает, что каждый многочлен над С разлагается на лннейные множители. Поскольку S2 X • • ¦ X S2 компактно, а СРЯ хаусдорфово, отображение факторпро-странства SPa(S2) в СР" —гомеоморфизм. Действительно, это отображение непрерывно и биективно. § Конец отступления.
§Ц 5.3, Упрлжнзние. Докажите, что множество тгких
П
точек (а,, ..., ап) Сп, что многочлен ')]
(«О
сг0— 1, имеет меньше п различных комплексных корней, замкнуто и имеет меру нуль. (Это множество называется дискриминантным множеством.)
6. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
57
5.4. Если точка сгеС" ие лежит в дискриминант-
П
ном множестве и а —корень многочлена
<-о
— Ра М» ТО Ра {х) = (х —a) g (х) И
(а) ==?(<*) Ф 0.
П
Следовательно, из уравнения ? SiX?~l — 0 можно
1-0
в окрестности точки s = cr, х = а выразить х как аналитическую функцию от s. Действительно, отображение
т: (Si.....sn, x)>-*(st......sn, ps(x))
локально в окрестности точки s = a, х=*а является замено% координат и определяет функцию
(S|, ..., 5д) I > (т 1 (5[, . Snt 0))„+1.
Эта функция выражает корень многоч лена р3 через его коэффициенты s. (Выше мы использовали теорему об обратной функции для комплексных пространств.)
5.5. Множество {(d, z) е С**Х С \ра {г) *= 0} er Crt X С всегда является подмногообразием комплексной коразмерности 1 и, следовательно, вещественной коразмерности 2 (соответствующий результат верен и в вещественном случае). Это вытекает из того, что рассматриваемое множество есть график функции c»-iyc-*c, заданной формулой
Я-1
ая(аи .... z)ев — ?
1-0
Следующий пример иллюстрирует вещественный случай в размерности 2 (или, если угодно, вещественную часть комплексного случая).
5.6. Пример: п<= 2, ра (z) = z2 + 2(XiZ+or2 (двойка перед а, добавлена для удобства). Дискриминантное
58
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
множество и множество {po(z)-=0} содержат начало Координат в С"ХС.
5.7. Теперь нам понадобится немного комплексного анализа. Как вещественное векторное пространство С изоморфно R2. Пусть /; С -*¦ С — отображение, дифференцируемое как отображение R'-j-R2. Введем обычные координаты z — x+iy, z = x — iy:
x = j(z + z), y= — j(z — z).
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
59
Дифференциал / можно записать в виде
df “ W dx + -frdy "I- rfz + W -
где, по определению,
__df _1 ( df , . df \
dz 2 v dx dy / ’ dz 2 \ dx ' dy )'
В частности: (df пропорционален dz)^(f голоморфна (аналитична)) 4Ф (dffdz — 0) 4Ф (выполняются уравнения Коши — Римана).
Из теоремы Стокса вытекает, что если отображение f: С-*С дифференцируемо и D cz С — область, ограниченная гладкой кривой, то
jj df Л dz*= йх> Ь
^.dzAdz+\-^dzAdz.
¦-------- D
Следовательно, если f\D аналитична, то ^/dz = 0.
9D
Воспользуемся этим, чтобы доказать следующий вариант интегральной формулы Коши.
5.8. Пусть f: С.-*С —дифференцируемое отобра* жение, D — замкнутый единичный круг и ? е D0. Тогда
КО-ST +
во D
Доказательство. Пусть ?)в —круг радиуса в с центром в точке ?, содержащийся в U*. Функция 1 f{z — ?) аналитична вне ?>е, поэтому к функции f(z){(z — ?) применима теорема Стокса:
J $/(*)(г —СГ'Лг —
о-*в ао
21»
- J / (С + ев'®) /
Q
60
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
{д/дг и djdz удовлетворяют правилу дифференциро* вания произведения, чего и следовало ожидать).
При в —> 0 последний интеграл сходится к 2я*/(?). Тот интеграл, который «выброшен» в левой части,
