Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
(Rn, 0) (Rn X Rp, 0)-^- (R', 0).
Первый росток является иммерсией, а второй разлагается в композицию п проекций, подобных исследованной нами на шаге 1. Обозначим через M(f) следующее свойство ростка f:
векторное пространство A/(f*m(p) • А) конечномерно модуль А конечно порожден над 8 (р).
Тогда нам остается доказать следующее утверждение:
Шаг 3. Если заданы дифференцируемые ростки
(R", 0) Л (Г, 0) -Л (R9, 0),
то из M(f) и М(?) следует M{g°f). Итак, предположим, что А — конечно порожденный 8 (л)-модуль и пространство
AI(gofym(q).A = A/r(g'm(q))-A
конечномерно над R. Так как g'm (д) cr m (р), то f*g*m{q) с: f*m{p) и, следовательно, линейное пространство Ajf*m(p)-A конечномерно. Из M(f) вытекает, что модуль А, рассматриваемый как 8 (^-модуль с помощью отображения f*, конечно порожден.
Далее, по определению, A/g’m(q)-A = Ajf*g*m(q)• A и это пространство имеет конечную размерность. Из М (g) следует, что 8 (р)-модуль А, рассматриваемый как 8 (</)-модуль с помощью отображения g‘', конечно порожден. Но это и означает, что 8(п)-модуль А, рассматриваемый как 8 (^)-модуль с помощью отображения (g°fy, конечно порожден. 1
Подготовительная теорема полностью доказана. Полученный результат можно слегка усилить.
в.в. Следствие подготовительной теоремы. В предположениях подготовительной теоремы элементы {а,, ... ..., а*} порождают А как 8 (р)-модуль в том и только
в, ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
77
том случае, когда их классы смежности порождают векторное пространство A/(f'm(p) • А).
Доказательство. Как мы заметили выше, в одном направлении доказательство тривиально. Пусть классы элементов аи ..., а* е Л порождают векторное пространство A/(f*m (р) • А). Тогда из подготовительной теоремы вытекает, что модуль А конечно порожден над В (р). Далее,
А — (аи ak)^{p)-\-m[p)- А,
где первое слагаемое в правой части — это подмодуль В (р)-модуля А, порожденны". элементами аи ... ..., ад. Таким образом, применима лемма Накаямы, и, значит, А — {а......ак)%{рУ I
Особенно важен частный случай А = В (п).
6.7. Подготовительная теорема (в форме Маль-гранжа). Пусть j: (R", 0) -*¦ (Rp, 0) — дифференцируемый росток, индуцирующий гомоморфизмы колец
В (р) -* В (га) и f*: В (р) -> 8 (п). Следующие утверждения равносильны:
(1) фь ..., фй е В (п) порождают В (га) как В (р)-модуль,
(И) фь ..., фд €= $ (га) порождают <В (га) как % (р)-модуль,
(iii) ф(, ..., ф* порождают вещественное векторное пространство В (л)//‘пг(р) • В (га),
(iv) фь ..., ф* порождают вещественное векторное пространство
(Как обычно, структура В (р)-модуля в В (га) вводится с помощью гомоморфизма /*, а структура »[р) -модуля в #(п)-с помощью гомоморфизма f\)
Доказательство. Эквивалентность (i) и (iii) вытекает из подготовительной теоремы в расширенной форме, если положить В (п) = А.
(iii) =Ф (iv). Из равенства
+ ... +ф *-R + /*m(p) •#(«) = # (л),
78
6. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
используя отображение /: <§ (п) -*• $ (ft), получаем ф) • R + ... + ф* • R + f*ni (р) * & (л) — 8 (л).
(iv) =Ф> (iii). Из (iv) следует, что пространство Ш (n)/m(p) • %> (п) + и(п)“) конечномерно. Поэтому при некотором /г подпространства m («)*/(—) ^ m(ri)k+l/(...) этого конечномерного пространства совпадают (здесь через (...) обозначен подмодуль (ш (р)-8 (п) + m(ft)°°)). Лемма Накаямы, примененная к конечно порожденному Ш (п)-модулю (см. 4.5) m(n)ft/(...), показывает, что этот модуль нулевой. Это означает, что
m (п)к С1(р)^{л) + ш (nf с= m (р) • «Г (/») + то (n)k+l.
По лемме Накаямы, ш(п)* с: ш(р) • % (п), значит, пространство $ (n)/m(p) • # (п) совпадает с пространством &(п)1(т(р).$(п) + т(п)к).
Последнее пространство есть образ пространства & (я)/(т (Р) <$ (п) + т.(гс)°°) при естественной проекции и, следовательно, порождено над R элементами Ф1 > • - -» Фь*
(i)=^(ii) - тривиально получается после перехода к струям.
(ii) =ф (iv) доказывается так же, как соответствующая часть дифференцируемой подготовительной теоремы. В
Равносильность утверждений (ii) и (iv) — это формальная подготовительная теорема, которая получается в качестве побочного результата при доказательстве вещественного случая. Однако, как и в случае формальной теоремы об обратной функции из гл. 4 (Df (0) обратим 4Ф f обратим), этот результат можно доказать гораздо более простым путем, причем в гораздо более общей ситуации.
Идеал ш(р) порожден ростками . координатных функций на R3, а именно ростками уи ..., ур. Следовательно, если f = (f ь ..., fp), то П7/ = У/0 f = h и, значит,
9 (*)• m(p) = (flf .... jp)iia),
в. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
79
где в правой части стоит идеал в кольце В (п), порожденный компонентами J.
6.8. Определение. Дифференцируемый росток f: (R", 0)-»-(R,\ 0) называется конечным, если пространство В (n)/f*m (р) • В (п) конечномерно.
