Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ 95
8.9. Случай (ii). f (0, г) — г‘ ¦ a (z), где <7 (0) 0.
В этом случае идеалы (x,z2)^(2> совпадают
и, согласно подготовительной теореме, функции 1, г порождают & (2) как <§ (2)-модуль со структурой модуля, определенной с помощью отображения F*.
В частности, росток z‘ можно записать в виде
z2 = ф (.х, f (х, г)) + 2-ф (х, f (.х, z)) • z,
где Ф(х,у), \р(х, у) — некоторые ростки.
Взяв разложение Тейлора до членов второго порядка от обеих частей этого тождества, получим два многочлена второй степени с совпадающими коэффициентами:
Ф (0, 0) === -ф (0, 0)« 0; дФ/ду (0) Ф 0;
(х, f (xt z))fdz (0) = dty/dy (0) • df/dz.{0) — 0.
Это означает, что отображения
h (х, z) = {х, z —1|) (х, f (х, z))),
* (*> У) — (*. Ф (х, у) + (*. у))
являются заменами координат. Таким образом, коммутативна диаграмма
(х, г) Д (х, г — (*, f {х, z)))
Jdd.ld*)
(х, f {х, z)) Д (х, Ф (х, f (х, г)) + -ф2 (•*> f (*. 2)))
поскольку г2 •f фг — 2'фг = Ф + 2*фг + ij)s — 2фг = Ф ¦+* + Следовательно, F эквивалентно отображению (х, z) н-* (х, Z2).
8.10. Случай (iii). В этом случае df/dz (0) =d2//az2(0) = 0 и ^/дхдг{0)ф 0, д3//^’ (0) ф 0. Как н выше, мы выводим из подготовительной теоремы, что существуют ростки Ф, ф, 5, для которых
3» = ф (х, f (х, г)) + (х, f (х, z)) z -f 30 <х, f <х, г)) 2*.
Из этого тождества вытекает тождество между струями в начале координат. Сравнивая коэффици*
96
3. ОТОБРАЖЕНИЯ плоскости в плоскость
енты при 1, z, z-, находим, что Ф (0) — tj>(0) = 0 (0) = 0 и что функция 0 (0, / (0, г)) имеет нуль по меньшей мере третьего порядка по z (напомним, что это означает, что эта функция лежит в ш(1)3). Следовательно, преобразование
(х, z) н-> (х, z — 0 (х, f (х, 2)))
является допустимой заменой координат.
Эта замена координат переводит функцию f в функцию {т, определяемую с помощью следующей диаграммы:
(х, z) 1 > (х, z — 0 (х, f (х, z))) = (х, z)
\
f(x, z) = fT{x, Z)
Функция 1т удовлетворяет в случае (iii) тому же условию, что и /: функция /г (0,2) = /(0,2 —0(0 ,/(0, z))) имеет нуль в точности третьего порядка, а д{т/дх(0, z) имеет нуль в точности первого порядка, в чем можно убедиться путем сравнения коэффициентов 2-струй:
f (х, z) = fxx + /г*7 + f3xz mod in (2)3,
z(x, z) ~z-{-clx-{-C2X2-\-c3xzmod ni(2)3, следовательно,
2 (x, z) — z — cxx — (c2 — cxc3) x2 — c3xz mod in (2)3, следовательно,
fT(x, z)==f(x, z(x, z)) =
= f\X + (J2 — f3Ci) X2 -f- f3xz mod in (2)3,
.где f3 отлично от нуля по предположению.
Заметим теперь, что в новых координатах
23 = (2 ~ 8)3 = Z3 — 32Ve + 320= - 63 =
= Ф + Т|>2 + 3022 — 32*0 -f 3 202 — 03 =
•= (Ч> + 30') (2 - 0) + (Ф + 203 + * • 0) =^2 -f
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
97
где i)>i и Ф — некоторые мостки. Это показывает, что мы могли с самого начала предполагать, что 0 = 0,
23 = Ф(х, /) + ^(*. f)z,
Ф (0, 0) = ij) (0, 0) == 0.
Сделаем теперь замену координат в прообразе {(хь л*)} и в образе {(^i, у2)} по формулам
«> И-
« КЬК::Э-
Прежде всего мы должны проверить, что эти формулы действительно задают допустимые замены коор* динат. Проделаем некоторые вычисления в 3-струях:
f (*,, х2) = f,x, + frf + f^x2 + fKx\ + x, • о (2) mod ж\
где f3, fi?*0 (напомним, что обозначение о( ) вводилось в 4.7),
Ф (*i, у) = biXi -f b2y mod m2,
Ф (*i. у) *= Ctx, + c2y mod in2,
(С) хз = Ф (x,, f (x,, x2)) + $(*,, f (*,, Xj)) • xr
Для замены (А) мы должны показать, что Ci+c2fi?=0,
b\ b2
а для замены (В) — что
Ф 0. Из формулы (С),
С1 с2
которая представляет собой тождество между степенными рядами, вытекает, что Ьг ф 0, поскольку b2U — коэффициент при х^ в правой части. С другой стороны, коэффициент при х^, а именно (с, -f с2/,) + bj3, равен нулю, и, так как f3 ф 0, ЬгФ 0, имеем ct + + c2fi Ф 0’ Коэффициент при х{ равен 6, + b2f 1» т. е. нулю, поэтому й,с2 — Ь2сх = — M/tc2 + сО Ф 0, что и требовалось доказать.
98
в. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
Чтобы завершить доказательство теоремы Уитни
об отображениях плоскости в плоскость, мы должны проверить коммутативность следующей диаграммы:
(*1. *2) (Ч> (*1. f (*1 ,х2)), х2) = (х, у)
'I » J
/nv
(xit f (хи Х2)) ($ (хи f (xlt x2)), Ф (xu f (xlt x2))) =
= (x, i? — xy) которая эквивалентна нашему уравнению
4 — 'Ф (*,. / (*,. х2))х2 — Ф(ж,, /(ж,, х2)), В
9. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА-ТОМА
Литература: Р. Том, Г. Левин, Особенности дифференцируемых отображений, в сб. «Особенности дифференцируемых отображений», «Мир», М., 1968, стр. 9—101.
Дж. М. Бордман, Особенности дифференцируемых отображений, в сб. «Особенности дифференцируемых отображений», «Мир», М., 1968, стр. 102—152 (см. также IHES Publ. Math, 33 (1967), 21—67).
