Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Брёкер Т. -> "Дифференцируемые ростки и катастрофы" -> 23

Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.

Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы — М.: Мир, 1977. — 208 c.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка): defrostkiikatostrofi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 52 >> Следующая


g{X, Z) = f(x, 2) + A,lZ + A,222 + A,3X2 + A,4Z3.

Требуется показа: ъ, тгго найдется достаточно малое Я = (А,1, ...,X()eR4, для которого всюду будет выполнено одно из условий (i), (ii), (iii). Имеем

dg/dz = (df/dz) + A., + 2A.JZ + \3x + 3A.4z2, d-g/dz* = (d-f/dz2) + 2 K, + 6A,4z, d2g/dxdz — (d2}jdxdz) + X3, digjdzi^(d?fjdzi) + QK

Отсюда следует, что если dgloz (а) — d7g/dz2{a) = 0, то

d^g/dxdz (а) = 0 А (а) • Х = Ь (а),

где

А (с) = [о 2 0 6г 1 и 6(а)-----------(|L, 0,

L0 0 1 0 J
92

8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ в плоскость

Аналогичное условие имеется и для равенства d*gld^(a) — 0, отличающееся только-видом матрицы. В этом случае

_ Г1 Чг х Ъг -

Л (а) — 0 2 0 6z .

.0 0 Об.

Матрицы Л и Л в каждой точке имеют ранг 3, поэтому достаточно показать, что те А. = (А.,, ..., Я.ч),

для которых А (а) • Х — Ь(а) для некоторого а, образуют множество меры нуль (и что это же верно для матрицы А).

Матрица А определяет отображение

UX R4-?/XR3,

(а, Я) >-» (а, А (а) ¦ X).

Поскольку А имеет ранг 3, это отображение —• суб-мерсия. Оно имеет всюду ранг 5.

Точки {(а, &(а))|а е U) образуют в U X R3 подмногообразие коразмерности 3. Следовательно, прообраз этого многообразия в UX R4 есть подмногообразие коразмерности (а значит,' и размерности) 3. Спроектировав это многообразие на R4, мы получим множество меры нуль, состоящее из тех X е R4, которые удовлетворяют условию А(а) - Х — Ь(а) при некотором ое(/. |

Стандартное рассуждение с использованием локально конечного покрытия дает открытое и плотное множество Т cr С°° (R2, Rv), такое, что каждое отобра-
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ

93

жение из Г в каждой точке имеет локальное координатное представление

(*,*)*-*¦(*, fix, г)),

в котором функция / удовлетворяет одному из условий (i), (ii), (iii) леммы 8.7.

Мы только коротко поясним, как это делается. По лемме 8.5, существует открытое и плотное множество отображений F: R2->R2, для каждого из которых можно найти счетное семейство компактных множеств {Ка | п е N} и окрестность Un каждого множества Кп, обладающие следуюипми свойствами:

внутренности множеств Кп покрывают R2,

каждая окрестность Un имеет компактное замыкание,

семейство {t/n|rceN} локально конечно, и, если R2 = {(*!, лг2)>,

для каждого п найдется такая пара (i, j) (г, / е е{1,2}), что в любой точке а^Кп имеем dFJdX} (а) ф 0.

Теперь мы можем определить на всем Кп отображение (*i, *2)'—*(**, Ft), которое локально, в каждой точке Кп, является заменой координат. Это отображение переводит первоначальный росток в росток вида {хи хъ)*-*{хи f{xи х2)).

Заметим, что из последнего условия на Кп следует, что для любого отображения G, достаточно близкого к F, dGJdXj (а) ф 0 при всех а е Кп. Для таких G существует замена координат, соответствующая аналогичной замене координат для F, приводящая G к виду (Х|, *г)1-н<дг,, #(*,, хД). Если G близко к F, то g близко к f.

Будем теперь менять исходное отображение индуктивно на каждом Un таким образом, чтобы после п шагов условия леммы 8.7 выполнялись на мно-

П

жестве J Kt¦ Предположим, что мы уже сделали t-i

п шагов и что полученное отображение F столь мало
94

8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ

отличается от исходного отображения, что dFiJdx^a) по-прежнему отлично от нуля для всех а^Кт и для всех т, где для каждого т рассматривается соответствующая пара (t, /). Будем теперь менять отображение F на Un+\ так, чтобы условия леммы 8.7 выполнялись на Кп+\ и чтобы были выполнены следующие три условия: (I) отображение остается в предписанной окрестности исходного отображения, 2) условия леммы 8.7 по-прежнему выполняются

П

на множестве (J ЯцПУп+i. (3) для любого т и под-i-\

ходящей пары (i, /) неравенство dFijdx^a) ФО выполняется для всех а е Кт-

Поскольку семейство {[/n|rieN} локально конечно, мы будем менять отображение F в окрестности каждой точки лишь конечное число раз. Следовательно, предел описаг'шх выше отображений существует и является дифференцируемым отображением, которое локально можно привести к виду (х, у) >

(*> / (*. У)), где ! удовлетворяет условиям леммы 8.7.

Второй'шаг доказательства теоремы Уитни— показать, что любое отображение из множества Т локально можно привести к одной из трех рассмотрен» ных выше форм: регулярная точка, складка или сборка. Итак, мы рассматриваем росток

F: (R2, 0) -> (R2, 0),

(*, г) (х, / (х, г)),

где

(i) либо д(/дг(0)ф

(ii) либо dfjdz (0) = 0 и dPfldz* (0) ф 0,

(iii) либо df/dz(0) — d2fjdz2{0) — 0 и

d2f/dx dz (0) Ф .0, c^Z/dz3 (0) Ф 0.

8.8, Случай (i). Росток F регулярен. Сделав в образе замену координат с помощью F~\ мы превратим F в тождественное отобоажение.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed