Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
88
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
Вторая координата y — z? — xz при фиксированном х является многочленом третьей степени с производной ду1дг = 3г? — х. Точки экстремума этого многочлена задаются уравнением х — Зг2, а сами экстремальные
Мы хотим доказать такой результат:
8.4. Теорема (X. Уитни). Существует открытое и плотное подмножество Т cr С“ (R2, R’O, такое, что для xeR! и fsf росток f: (R2, х) -> (R2, f (*)) дифференцируемо эквивалентен одному из трех ростков (i), (ii) или (iii).
На самом деле отображения из Г, удовлетворяющие некоторым слабым дополнительным глобальным' условиям, устойчивы. Эти дополнительные урловия таковы:
(1) образы складок (являющиеся дифференцируемыми кривыми в R2) должны пересекаться трансверсально (т. е. иметь линейно независимые касательные); (2) в каждой точке должно пересекаться не более двух образов складок, и (3) две точки сборки или точка сборки и точка складки не должны иметь один и
ющей картине:
У
В. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
89
тот же образ. Эта теорема легко обобщается на отображения одной поверхности в другую (см. рисунок).
Доказательству этой теоремы и будет посвящена оставшаяся часть главы.
8.5. Лемма. Пусть Х = У = R2, Х = {(*1, д^) \xt е <=R}, К ={(«/!, &2)|«//^R}. и пусть f = (fI, /2): Х-+ -> Y — дифференцируемое отображение. Тогда в каждой окрестности отображения / существует дифферен-цируемое отображение g — (gu g2), такое, что Rkxg = =Rk (dgjdxj) (x) ф 0.
Доказательство. Фиксируем некоторую окрестность отображения f. Рассмотрим отображение
m*x,)i,i R2 -> R\
Это отображение дифференцируемо, н по теореме Сарда (тривиальный случай) его образ имеет меру нуль. Сколь угодно близко к точке 0 е R4 найдется точка Я = (?«,/), не принадлежащая образу этого отображения. Следовательно, матрица'Якоби отображения
gi (*ь х2) = U (хи х2) — Л,1*, — \1Чх«
нигде не обращается в нуль.
Обозначим через К (0, п) круг в R2 радиуса п с центром в начале координат. Построим теперь дифференцируемую функцию фп: R*-»-R, такую, что Ф„ | К, (0, п) — 1 и ф„ ! R2 — К (0, п+ 1) = Q. Положим
g'=9ig + (l— 9i)/.
90
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
Тогда g1 близко к f при малых л и удовлетворяет условию (dg\/dxf) Ф 0 на К(0, 1) для почти всех Я. Построим отображение gn индуктивно, полагая g" = (ф« - Фп-?>g + (1 — (% — ф„-2)) gn~l, где Ф-, = 0.
Из этой формулы видно, что g" и gn~l отличаются только на множестве К{0,п+1) — К (0, я— 2); Отображение g выбирается так же, как выше, причем Л берется столь малым, чтобы gf" было достаточно близко к g*~1, а именно, чтобы были выполнены следующие два условия:
(1) g" лежит в предписанной окрестности отображения /;
(2) матрица Якоби g" не обращается в нуль на К(0, я— 1)(матрица Якоби g"-1 не обращается в нуль на "(0, я— 1) и, следовательно, тем же свойством обладает всякое близкое к g"-1. отображение; заметьте, что g" = g на К (0, п) — К (0, п — 1)).
Положим g — lim gn. В окрестности всякой точ-
л “>00
Ки отображения g и gn локально совпадают при всех достаточно больших я. Следовательно, отображение g дифференцируемо и его матрица Якоби ни в одной точке не равна нулю. Кроме того, g лежит в заданной окрестности отображения f. И
8*6. Характерные особенности этой конструкции, которая постоянно встречается в дифференциальной топологии, таковы:
(1) свойство, которое мы желаем получить (в данном случае: Rk,g ф 0 всюду), выполняется на открытом множестве отображений;
(2) каждое отображение локально может быть аппроксимировано отображением, обладающим этим свойством.
Без ограничения общности можно считать, что для ростка g: (R2, 0)-*-(R2, 0) с ненулевой матрицей Якоби выполнено неравенство dgjdxi (0) Ф 0. Сделав замену (jcj, jc2) ¦—;>(?)(*)> х2) в области определения g, мы приведем росток g к виду (х, г)*-> {х, ф(х, г)).
8. ОТОБРАЖЕНИЯ плоскости в плоскость
91
Предыдущая лемма показывает, что почти всякое отображение имеет только что описанный вид в подходящей системе координат. Кроме того, если отображение имеет такой вид в некоторой компактной окрестности, то всякое близкое отображение может быть приведено к такому виду в этой окрестности.
Другие изменения ростка, нужные для того, чтобы получить основную теорему, нам удастся сделать, изменяя лишь определенную выше функцию <p: R2->R. Мы будем работать с отображениями R2—>R и по образцу леммы 8.5 докажем такое утверждение:
8.7. Лемма. Пусть U cz R2 = {(*, г) [ х, г е R} -г открытое множество. Пусть f:U-> R — дифференцируемая функция и К — компактное подмножество в U. Тогда существуют сколь угодно близкие к f на К функции g: U-+ R, такие, что в любой точке a^U
(i) либо dg(dz{a) Ф О,
(И) либо dgfdz (а) = 0, но dV/dz2 (а) ф 0;
(iii) либо dg/dz (а) = 0, oPg/dz* (а) = 0, но dPgfdx dz (с) ф Ф 0 и d^gjdz6 (а) ф 0.
Доказательство. Положим.
