Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим множество дифференцируемых отображений Rn-*RP через C°°(Rn, Rp) и введем в этом множестве топологию, задав базу окрестностей {U (е, &)} нулевого отображения. Для каждого &eN и каждой непрерывной строго положительной функции е: Rn-*R определим множество U (в, k) следующим образом:
fe(/(e, АО4ф|0вМ*)| < е(*) ПРИ I— Р
для всех |a|s^&, xeR".
Такую топологию можно ввести также н в множестве С°° {М, N), где М, N — диференцируемые многообразия, вложив М и N в евклидово пространство. Мы не будем вдаваться в детали (см. книгу Нарасимхана).
Говоря *f близко к g» или *f мало», мы будем иметь в виду только что описанную топологию. Если К — компактное множество в R", то множество С°° (УС, Rp) наделено фактортопологией, индуцированной из С°° (Rn, Rp) с помощью отображения ограничения С°° (Rn, Rp) -> С°° (К, Rp). Это придает смысл выражению «/: Rn-»¦R,’ мало на К».
в. ОТОБРАЖЕНИЯ плоскости в плоскость
83
Теперь мы приступим к изучению следующих понятий.
8.1. Определение. Пусть М, W — дифференцируемые многообразия. Два дифференцируемых отображения f0, h'. M-+N называются Ст-эквивалентны ми (соотв. топологически эквивалентными), если существуют диффеоморфизмы (соотв. гомеоморфизмы) А:
k: N-+N, такие, что следующая диаграмма коммутативна:
M±+N
4 1*
M^*N
Вопрос оо описании всех классов эквивалентности по этому отношению слишком сложен для того, чтобы на него можно было полностью ответить. Например, задача 2 в гл. 3 показывает, что всякое замкнутое множество в R" является множеством особых точек некоторого отображения /: Rn~>R*
Таким образом, классификация дифференцируемых отображений с *гочностью до введенного выше отношения эквивалентности является необъятной задачей, более сложной даже, чем задача классификации всех замкнутых подмножеств в R*\
Вот максимум того, на что мы можем надеяться: описать классы эквивалентности для некоторого о1» крытого и плотного подмножества во множестве дифференцируемых отображений (т.е. описать классы эквивалентности для «почти всех» в топологическом смысле дифференцируемых отображений). Совсем хорошо было бы доказать существование открытого и плотного множества отображений, обладающих следующим свойством.
8.2. Определение. Дифференцируемое отображение /: M-+N называется С”-устойчивым (соотв. топологи* чески устойчивым), если найдется такая окрестность U точки f в С [М, N), что каждое отображение fi&U С*-эквивалентно (соотв. топологически эквивалентно) /.
86
8. ОТОБРАЖЕНИЯ плоскости в плоскость
Устойчивые отображения действительно образуют открытое множество в С°°(М, N), но вопрос заключается в том, плотно ли это множество и можно ли классифицировать устойчивые отображения. Последняя часть вопроса является очень глубокой. Мы можем определить отношение эквивалентности на множестве ростков отображений подобно тому, как это было сделано в определении 8.1, и спросить:
Существует ли конечное множество ростков (Rm, 0) —> (R", 0), такое, что если отображение f: Mm-*-Nn устойчиво, то каждый росток f: (М, х)-* f (х)), определяемый отображением f, эквивалентен одному из элементов этого конечного множества?
Можно предполагать, что природные геометрические формы описываются устойчивыми отображениями (инвариантны относительно малых возмущений). Следовательно, классификация ростков устойчивых отображений есть в то же время локальная классификация природных геометрических форм.
Первый - результат в этом направлении дается теорией Морса. Почти всякая дифференцируемая функция /: R устойчива, и каждый росток устой-
чивой функции эквивалентен ростку одного из следующих типов:
A) fo,..., хп)>—>*i (регулярная точка),
B) (*!, . . ., Хп)*->х\+ ... +*А — (*1н+ ••• +*п) (критическая точка индекса п — к).
Это легко получить из результатов книги Милнора «Теория Морса».
Следующий результат был впервые доказан Уитни и описывает дифференцируемые отображения R2->R2.
Из этого описания, ‘в частности, получается, что есть только три класса эквивалентности устойчивых ростков отображений R2-»-R2. Представьте себе смятый кусок эластичной материи, прилегающий к ровной поверхности. Картина, которая у вас при этой воз-
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
87
никла, и есть типичный образ устойчивого отображения плоскости в плоскость. Как выглядит такое отображение' локально (в подходящих системах координат)?
8.3. Могут представиться три возможности:
(i) Окрестность точки отображается регу-
лярно.
(И) Точка х лежит на складке.
(iii) Точка х лежит там, где складка начинается или кончается.
В каждом из этих случаев легко привести соответствующий аналитический пример:
(I) f: R2 RJ, (jc, г) *—> (*, z) — регулярная точка.
х
х
(Ц) /: R* -> Ra, (*, гУ-*-{х, г*) — (*, у) — складка.
(Iii) /: Ra -* Rs, (х, z)v-+(x, z> — xz) = (х, у) — сборка.
