Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Подход Бордмана к общему случаю, т. е. к случаю множеств особенностей *»•(/), опирается на
построение некоторых регулярных алгебраических
многообразий 2(/|.....хг) в пространстве струй %(п, т)
(вместо пространства LA(n, т) 1-струй). Затем Бордман деформирует немного данное отображение /: R ->R^ так, чтобы отображение
If: Г-+&(п,т),
> (струя ростка f: (Rn, х) -* Rm в точке х)
стало трансверсальным ко всем подмногообразиям 2(/),..., /г). Для отображений, обладающих этим свойством, он доказывает совпадение множеств
....''(/> и /Г'2(/„ .... «
и то, что все они являются подмногообразиями.
10. КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Литература: В. И. Арнольд, Особенности гладких отображений, УМН, 23 (1968), 3-44.
S. Lang, Analysis I, Addlson-Wesley, 1968.
I. R. Porteous, Simple singularities of maps, lectures, Columbia 1962, Liverpool Singularities — Symposium I, Lecture notes 192, Springer, 1971, pp. 286—307.
R. Thom, La stabillte topologlque des applications poly nomlales, VEnseignement Math., 8 (1962), 24—33.
В случае отображений поверхности в поверхность устойчивые дифференцируемые отображения образуют открытое и плотное множество в пространстве всех отображений. Для многообразий достаточно высоких размерностей соответствующий результат не имеет места. Множество отображений, устойчивых относи-'ельно дифференцируемой эквивалентности, не плотно.
Чтобы доказать это, мы определим инварианты, которые помогут нам различать неэквивалентные ростки.
Грубо говоря, эти инварианты (введенные Портеу-сом) определяются квадратичной частью разложения Тейлора там, где его линейная часть обращается в нуль.
Эта квадратичная часть ряда Тейлора ростка определяет некоторые линейные семейства квадратичных форм. Алгебраическими средствами эти .формы разбиваются на классы эквивалентности. Отсюда мы получаем инварианты линейных семейств, а тем самым — инварианты ростков.
Начнем с определения квадратичного дифференциала.
Пусть f: (Rn, 0) -> (Rm, 0) — дифференцируемый росток. Дифференциалом f называется линейнсе отображение Df{0): Rn->RmJ где R" и Rm канонически
108
10. квадратичный дифференциал
отождествляются со своими касательными пространствами в начале координат.
10.1. Квадратичным дифференциалом называется квадратичное отображение
для любого v е Ker (Df (0)).
Мы должны показать, что этот предел существует и что отображение d2f0 является корректно определенным квадратичным отображением
где эти векторные пространства рассматриваются как подпространства касательных пространств соответственно к R" и R”1 в начале координат. Для этого нужно показать, что отображение d2f0 не зависит от выбора дифференцируемой системы координат.
Рассмотрим разложение Тейлора
(1) f (tv) = tDf (0). г, + \ t* ? -gfL- • v,vk + о (3).
Г к / *
Пусть v ?= Ker (Df (0)). Первый член обращается в нуль, и поэтому требуемый предел существует и равен
Если ф: (R41, 0)-*-(Rm, 0) — диффеоморфизм, то, используя разложение Тейлора (I), получаем
d2f0: Ker (Df (0)) -> Coker (Df (0)), определенное формулой
d'fo(v) — lim mod Df (0) (R")
*
Ker (Df (0)) -*¦ Coker Df (0)),
(2)
d1 (Ф о f)Q (v) = (0) • \ • v,vk.
i,t 1
Следовательно, отображение. d'2f0 преобразуется матрицей Якоби точно так же, как касательное пространство к Rm в начале координат. Значит, это
10. КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
109
отображение не зависит от выбора системы координат на Rm.
Рассмотрим теперь замену координат гр: (Rn, О)-* ->(R", 0), удовлетворяющую условию Dip (0) = id. Тогда •ф (tv) — to + t2w (t) и
f (ф (tv)) = f Df (0) • »(/) +112 ? аГдГ v<v> + ° <3)-
' I, k 1 к
откуда
Mm IJiM = Ит Цр- + Df (0) • w (0).
(->0 1 t->0 1
Последний член принадлежит Df v0) (Rn).
Мы показали, что отображение d2f0 однозначно определяется уравнением (2), если только выбран базис в подпространстве КегЬ/(0) касательного пространства к Rn в начале координат.
10.2. Пример. Отображение /: R4->R4
(х{, х2, х3, х^ I > (xlt х2, х* xtx3 4" Х^Хр х3х^ имеет квадратичным дифференциалом отображение (*3, х^(х\-х\, х3х<).
В частности, ясно, что любое квадратичное отображение служит квадратичным дифференциалом подходящего полиномиального отображения / для подходящих значений т, п и dim(KerZ)f (0)).
Квадратичному дифференциалу можно сопоставить инвариантным образом пучок квадратичных форм. Пусть
F — векторное пространство квадратичных форм на Кег?>/(0),
С — сопряженное пространство к Coker ?>/(0),
Lf. C-+F, Lf(a) = aod2f0.
10.3. Определение. Отображение Lt: C-+F называется пучком квадратичных форм отображения d?f0.
