Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
J. Mather, On Thom — Boardman singularities, Internat. Sympos. In Dynamical Systems (Salvador 1971), Academic Press, New York, 1973.
J. Mllnor, Differential topology, lecture notes, Princeton, 1958.
Пусть f: M -*¦ N — дифференцируемое отображение. Мы уже видели в упражнениях, что множество
Б‘ (f) = {* е М | dim (Л1) - Rkx f = i) cz M
может быть очень сложным, в некоторых случаях это может быть любое замкнутое подмножество в М. С другой стороны, для отображения поверхности в поверхность множество Е*(f) для почти всех / является многообразием. Для отображений Уитни могут появиться только множества 2P(f) и 2'(f)-Первое из них открыто, а второе состоит из дифференцируемых кривых.
Если Ъ1(!) оказывается мно”ообразием, то можно определить множество Е1,1 (f) = 5У (f 12‘ (f)). В случае отображений Уитни единственным интересным множеством такого вида является S'- '(f), которое состоит из точек сборки f. До тех пор, пока на каждом шаге получаются многообразия, эту конструкцию можно продолжать, определяя индуктивно множество
S*1’ ‘г.<п(/)- Р* Том поставил следующий вопрос:
существует ли открытое плотное подмножество Т сг сzC°{M, N), такое, что для любого /еГ все под-
too
9. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА - TOMA
множества Е*1’1....in(f) могут быть определены опи-
санным выше способом и являются многообразиями? Утвердительный ответ на него получил Бордман, который иашеЛ массивное подмножество Т (т. е. счетное пересечение открытых плотных множеств).
Мезер заметил, что если М компактно, то это множество Т содержит открытое плотное множество с теми же свойствами — см. предложение 2 в § 6 указанной выше работы Мезера.
Для того чтобы эта книга осталась введением в теорию дифференцируемых отображений и не превратилась в изложение результатов Бордмана, мы изучим только подмножества особенностей 2* (f). Этот случай был рассмотрен еще. Томом.
Почти всякая теорема о «почти всех» отображениях опиргтгся на рассуждения, связанные с «общим положением» некоторых подмногообразий. В дифференциальной топологии понятие «общего положения» описывается с помощью трансверсальности. Поэтому сначала мы введем это последнее понятие.
Пусть f: Mm-*Nn — дифференцируемое отображение и Un~k — подмногообразие коразмерности k в Nn:
Вообще говоря, множество f~l (U) с: М может и не быть подмногообразием. Как мы уже знаем, если C/^slOjcrR1, то (?/) может быть произвольным замкнутым подмножеством. То же самое может случиться и в более общей ситуации.
9.1. Определение. Отображение f: Mm-+Nn называется трансверсальным подмногообразию Un~k aNn,
в. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНЛ - ТОМА
101
если для каждой точки х е М, такой, что / (х) е U, выполнено следующее условие:
Пусть (у.......уп) — локальные координаты в ок-
рестности точки f(x), такие, что вблизи этой точки подмногообразие U задается уравнениями у\—у2—...
• • - = Ук — 0 (см. определение подмногообразия). Тогда матрица
тдх,),
где (jC|, ..., хт) — некоторая система координат в окрестности точки х s= М, имеет ранг k в точке х.
Заметим, что ьто условие затоагивает только те х €= М, для которых f(x) е U. Следовательно, если m<k, то трансверсальность означает просто, что /<ЛОПУ = 0.
Используя касательные пространства и касательное отображение, это условие можно сформулировать следующим образом:
Если х е М и f(x)&U, то отображение ТХМ Т f lx)N -+ Т f lx)N/T f ix)U
сюръективно. Иначе говоря,
Txf(TxM) + Tnx)U = Tnx)N.
') Трансверсальность — это свойство отображения f, а не множества f(M). Поэтому если нарисовано множество f (М), то иногда из этого рисунка можно понять, что / не трансверсально U, но никогда нельзя гарантировать, что f трансверсально U. Пример: M = R =»(<). N = R2 = (х,, х2}, (У = (х2 = 0}, f(f)=“
102
9. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА - ТОМА
9.2. Замечание. Если отображение f: Mm-> Nn трансверсально подмногообразию Un~k cz Nn, то множество f~l{U)czM либо является подмногообразием коразмерности k, либо пусто.
Доказательство. Выберем системы координат (*], ... ...,xm) и (уи ..., уп), как в определении трансверсальности. Вблизи точки /“’(?/) множество f~' (U) локально является прообразом нуля при композиции отображений
(X], . . ., хт) |—5- [уи • • •» Уп) *¦—> {yi, •. ., hk).
Это отображение имеет ранг k по определению трансверсальности. @
Если U cz N — замкнутое множество, то множество отображений, трансверсальных U, является открытым подмножеством в С°° (М, N). Это вытекает из того, что трансверсальность локально выражается необра-щением в нуль некоторого непрерывного отображения <pf: AJ-*-R, а именно суммы квадрата расстояния (f (х), U) и квадратов детерминантов (dftjdx,), i^Lk. Если f меняется мало, то и q>{ меняется мало.
С другой стороны, теорема трансверсальности Тома (см. лекции Милнора по дифференциальной топологии) утверждает, что множество отображений, трансверсальных U, плотно в С°°{М, N).