Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Изобразим эти световые линии для ^мировой точки О, которую мы принимаем за начало всех рассматриваемых систем координат X, ct\ эти световые линии мы изобразим в виде взаимно перпендикулярных прямых. Выберем их в качестве осей некоторой системы координат XY (фиг. 115).
Мы приближаемся к самым корням теории Эйнштейна. Система XY единственным образом определена и фиксирована в «мире»; ее оси представляют собой не линии в пространстве, а образуются мировыми точками, именно теми точками пространства, которых в данный момент времени достигает световой сигнал, излучаемый цз начала сцстемы. Эта инвариантная щщ 234 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
«абсолютная» система координат является, таким образом, чрезвычайно абстрактным представлением. Мы должны освоиться с тем, что подобные абстракции в современной теории заменяют конкретное понятие эфира. Их сила заключена в том, что они не содержат ничего выходящего за рамки понятий, необходимых для истолкования результатов опыта.
Калибровочные кривые, отсекающие единицы длины и времени на осях произвольных инерциальных систем х, et, должны
Сплошные жирные лииии представляют сигналы, исходящие из О; пунктирные жирные лииии — сигналы, сходящиеся к О.
отсчета X, Y. Эти калибровочные кривые должны описываться инвариантным законом; наша задача состоит в том, чтобы установить его.
Сами по себе световые линии инвариантны. Ось X (K = O) описывается в системе отсчета 5 уравнением X = et, а в другой системе отсчета S' — уравнением X = et', поскольку именно эти формулы выражают тот факт, что скорость света имеет в обеих системах одно и то же значение. Выразим теперь разность х' — et', которая равна нулю для всех точек оси У, через координаты X, X с помощью преобразования Лоренца (70). Имеем
X'-et' = ^[[X-Vt)-с [t-х^ = § S. Геометрическое представление механики Эйнштейна
235
Здесь мы ввели обычное сокращенное обозначение
? = f- (71)
Отсюда видно, что когда х — ct = 0, то и х' — et' = 0.
Ось Y (X — 0) определяется уравнением х = —et или х' = — —et'. Выполняя соответствующее преобразование обратно от х' и et' к X и et, мы должны лишь заменить с на —с, а ? на —? (причем а = ]/l — ?2 остается неизменным); мы получаем
X' + et' = (* + et).
Из этих формул без труда выводится инвариантное выражение: действительно, (1 + ?) (1 — ?) = (1 — ?2) = а2; следовательно, если перемножить два уравнения, постоянный множитель оказывается равным 1, и мы получим
(X' - Ct') (х' + Ct') =
= (х — et) (х -1- et)
или
л;'2 _ c2t' = x2 _ сН2\
F=I
116. Калибровочные кривые F= 1 Hf=-I.
это означает, что выражение
F = x2 - сН2 (72)
представляет собой инвариант. Ввиду его важности мы назовем его фундаментальным инвариантом. Видно, что F имеет размерность [/2]. фиг-
Прежде всего он служит для определения единиц длины и времени в произвольной системе отсчета S. Эти единицы в других системах 5 отложены на линейках и часах идентичной физической величины и конструкции. Хотя они имеют размерности длины и времени, в дальнейшем .мы будем использовать просто символ 1 для длин и площадей, поскольку фактический выбор физических единиц не играет принципиальной роли.
Что представляют собой мировые точки, в которых F имеет значение +1 или —1? Мы имеем F=Ib мировой точке X= 1, ct = 0 (фиг. 116). Но это конечная точка отрезка единичной длины, другой конец которого совпадает с началом координат в момент времени t = 0. Поскольку это одинаково верно для всех систем отсчета S, нетрудно догадаться, что мировые точки, 236 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
в которых F = 1, определяют единицу длины, покоящуюся в произвольной системе отсчета, что мы сейчас и докажем самым подробным образом.
Аналогично, F = —1 для мировых точек, в которых х = О, et = 1; здесь t — малый интервал времени, затрачиваемый светом на прохождение единичного расстояния. Следовательно, эта мировая точка соответственно связана с единицей времени часов, которые покоятся в системе S.
Далее, нетрудно построить точки F = +1 или F = —1 геометрически, исходя из инвариантной системы координат XY. Ось X образуется точками, для которых Y = 0. С другой стороны, те же самые мировые точки характеризуются в произвольной инерциальной системе 5 уравнением л: = ct. Следовательно, У должно быть пропорционально х — ct. Выбирая единицу Y подходящим образом, можно положить
Y = x-ct.
Рассматривая аналогичным образом ось X, мы находим, что можно положить
X = x + ct.
Следовательно,
XY = {х-ct) (x + ct) = x2-c2t2 = F. (73)
Итак, F = XY представляет собой площадь прямоугольника со сторонами X и Y4 Мировые точки, для которых F = XY = 1, есть свободные углы прямоугольников единичной площади, образованных координатами X, Y. Эти прямоугольники изображены на нашей диаграмме (фиг. 116). Среди них — квадрат с единичной стороной; остальные прямоугольники выше — пропорционально тому, насколько они уже, или ниже — пропорционально тому, насколько они шире, в соответствии с условием Y = 1/Х (фиг. 116). Точки с координатами X, У, для которых XY= 1, очевидно, образуют кривую, ветви которой все ближе и ближе подходят к осям X и у. Эту кривую называют равносторонней гиперболой. Когда X и У оба отрицательны, произведение XY положительно. Следовательно, построение дает нам вторую ветвь — зеркальное отображение первой — в противоположном квадранте нашей системы координат.
