Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
При F = —1 справедливо аналогичное построение в остающихся двух квадрантах, где координаты X и У имеют противоположные знаки.
Четыре построенные нами гиперболы дают теперь калибровочные кривые, с помощью которых можно установить единицы длины и времени во всех системах отсчета. § S. Геометрическое представление механики Эйнштейна
237
Фиг. 117. Построение оси х по известной och et, или наоборот.
Пусть ось X пересекает ветви гиперболы F= +1 в точках P и P', а ось і пересекает ветви гиперболы F = —1 в точках QnQ' (фиг. 117).
Проведем линию, параллельную оси et, через точку Р. Мы утверждаем, что она не пересекает правую ветвь калибровочной кривой F = +1 ни в какой другой точке и лишь касается ее в точке Р. Другими словами, мы утверждаем, что ни одна точка этой ветви калибровочной кривой не лежит левее нашей прямой, но вся ветвь оказывается справа от нее, так что все ее точки имеют координаты_л:, превышающие расстояние OP.
Это действительно так, ибо для каждой точки калибровочной кривой F = X2 — сЧ2 = 1 имеем X2 = 1 + сЧ2. Таким образом, для точки P калибровочной кривой X2 = 1, причем эта точка лежит в то же. самое время на оси x(ct = 0). Для любой другой точки на калибровочной кривой X2 больше 1 на положительную
величину сЧ2. Соответственно OP = 1, и для любой точки правой ветви калибровочной кривой х больше 1.
Точно так же мы находим, что параллель к оси et, проходящая через точку P', касается левой ветви гиперболы F=Ib точке P' и что параллели к оси х, проведенные через точки Q и Q', касаются ветвей гиперболы F = —1 в точках Q и Q'. Отсюда очевидно, что расстояние OQ = 1. Действительно, точка Q лежит на калибровочной кривой F = x2 — c2t2 = —1, а х = 0 определяет положение оси t, следовательно, сЧ2 = 1; таким образом, et = 1 представляет величину отрезка OQ.
Две параллели к оси et, проходящие через точки P и P', пересекаются со световыми линиями X и Y в точках R и R'. Но параллели к оси X, проходящие через точки Q и Q', также проходят через эти точки, ибо для точки R, например, мы имеем х = = et, так как она лежит на оси X, и х = 1, потому что она лежит на проходящей через точку P параллели к оси ct. Отсюда следует, что ct = 1, т. е. что R лежит на параллели к оси х, проходящей через точку Q.
Итак, ясно, что наше построение оси х согласуется с приведенным выше (стр. 225) при определении одновременных мировых точек. В самом деле, отрезок OQ на оси et и две параллели 238 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
к этой оси, PR и PfR', представляют собой мировые линии трех точек, одна из которых О лежит посредине между двумя другими P и P'. Но если из точки О отправить в обоих направлениях световой сигнал, то его траектория будет представляться световыми линиями OX и О У, которые пересекают две параллельные мировые линии в точках R и R'. Следовательно, эти мировые точки одновременны, а линия, связывающая их, параллельна оси X в точности так, как показывает наше новое построение.
Сведем результат наших рассуждений в следующем коротком утверждении.
Оси X и et системы отсчета S расположены по отношению друг к другу таким образом, что каждая из них параллельна прямой линии, которая касается калибровочной кривой в точке пересечения с другими осями. _
Единица длины дается расстоянием OP. Единица времени определяется расстоянием OQ, которое, по сути дела, также представляет собой отрезок длины на нашей шкале ct.
Каждая прямая мировая линия, проходящая через начало координат и пересекающаяся с ветвью калибровочной гиперболы F = 1, может быть принята за ось х. Ось t тогда задается как параллель к прямой, касательной к этой гиперболе в точке Р. Аналогичным образом за ось et можно выбрать произвольную мировую линию, пересекающую ветви F = —1 калибровочных кривых. Соответствующая ось х тогда определяется единственным образом с помощью построения, аналогичного проделанному выше.
Эти правила занимают место законов классической кинематики. В классических законах ось х была одной и той же для всех инерциальных систем, а единица длины была фиксирована на ней; единица времени была равна отрезку, отсекаемому определенной прямой линией, параллельной оси х, на оси et, которая в общем случае была наклонной к оси х (см. фиг. 41, стр. 79).
Но как случается, что два построения, по всей видимости столь различные, оказываются едва ли вообще различимыми на практике?
Это объясняется колоссально большой величиной скорости света с по сравнению с обычными скоростями материальных тел во Вселенной. На наших рисунках единица, скажем 1 см, в шкале et соответствует
1 CM 1 , 10
-= -o- • 10 сек.
с 3
Если бы мы захотели представить 1 сек и 1 см на чертеже в виде отрезков одной и той же длины, потребовалось бы, очевидно, § S. Геометрическое представление механики Эйнштейна
239
сжать диаграмму в направлении t так, чтобы все расстояния, параллельные оси t, сократились в отношении 1 с. Будь с
CQK '
равно лишь 10 см/сек, такой чертеж выглядел бы как-то вроде изображенного на фиг. 118. Две световые линии образовывали бы очень малый угол, ограничивающий пределы", в которых изменяются направления осей х, и, с другой стороны, угловое пространство для осей t стало бы очень широким, а калибровочная кривая для t — очень плоской. Таким образом, для систем, относительные скорости V которых существенно малы по сравнению
